抽象代数 证明R是A的一个等价关系

结合律:设有a,b,c,则对任意x=1,2,...,n,有a(bc)(x)=a(b(c(x)))=(ab)(c(x))=(ab)c(x).幺元:e(x)=x,那么e是幺元逆元：由于a:{1,2,...

字符串连接之后还是字符串.设三个串出来,显然三个连接的时候可以不考虑先后顺序,即有结合律.

(1)对于任意的x,y∈A,因为xy=yx所以∈R故R是自反的（2）对于任意的∈R所以xv=uy所以uy=xv所以∈R故R是对称的（3）对于任意的∈R且∈R所以xv=uy且uz=wv所以xz=xwv/

(A＋B)(B＋C)(C＋D)＝[(A(B＋C)＋B(B＋C)](C＋D)=(AB＋AC＋BB＋BC)(C＋D)=(AB＋AC＋B＋BC)(C＋D)=(ABC＋ACC＋BC＋BCC)+(ABD＋ACD

对于任意的a∈A,因为R是等价关系,所以aRa,由S的定义可知(a,a>∈S.所以S非空且有自反性.如果∈S,那么存在c∈A,使得aRc,cRb.因为R是等价关系,有对称性,所以bRc,cRa,由S的

先证明自反性:对任意(a,a)有aa=aa成立,所以(a,a)R(a,a),(a,a)具有自反性在证明对称性:对任意(a,b)有ab=ba成立,所以(a,b)R(b,a),(a,b)具有对称性最后证明

首先,阶数为素数的群肯定是交换群,所以个数不可能为1,2,3,5；下面只要考虑阶数是4的群是否交换,假设这个群是G={1,a,a^(-1),b}由群运算的封闭性,ab,ba都属于G,并且都不等于1,a

任取a,b属于G.那么a^2=e,b^2=e,且ab属于G.那么(ab)^2=e故abab=e=a^2b^2故ba=ab故G可交换.

H

这个符号就是表示由b生成的循环群,里面任何一个元素都可表示成b的某个整数幂.现在=表示这两个群相等.说明了a^s∈即存在一个整数m使得a^s=(a^t)^m=a^(tm)另一个同理.

定理：设H是G的子群,a,b∈G则aH=bH的充要条件是a-1b∈H证明：充分性,设a-1b=h(h属于H),则b=ah,所以bH=ahH=aH必要性,因为aH=bH,所以对h属于H,必存在h1属于H

证明：充分性：由数论(m,n)=1的充分必要条件是存在整数s、t使ms+nt=1,所以a=a^(ms+nt)=a^ms*(a^n)^t=a^ms这说明a^m可以生成a,又G=,所以G可以由a^m生成.

不是自同构因为E(x*y)=E(c)=b,任取x,y∈AE(x)*E(y)=c,任取x,y∈A可见E(x*y)≠E(x)*E(y)所以E不是同态,自然也不是同构.

设这个半群H的所有元素集为{a(1),a(2),…,a(n)},a(1)*H=H,得a(1)*a(i)=a(1),a(i)=1,不妨设i=1,于是a(j)*H=H,得a(j)*a(k)=1,j=1、2

事物A与事物B等价,一般是指A,B在某些方面具有共同的性质,人们在研究这些共同的性质时,对事物A,B不加以区分,认为A,B是同一个事物.对于两个命题A,B,如果A=>B且B=>A,则称命题A,B等价.

反证法：若ab是单位,存在c,满足abc=cab=单位===》a,b分别是单位===》矛盾

第一个验证一下就行任何X属于A(X,X)属于R(X,X)属于S所以属于R∩S(自反性)若(X,Y)属于R∩S则(X,Y)属于R(X,Y)属于S所以(Y,X)属于R(Y,X)属于S所以(Y,X)属于R∩

水中溶有少量空气,容器壁的表面小空穴中也吸附着空气,这些小气泡起气化核的作用.水对空气的溶解度及器壁对空气的吸附量随温度的升高而减少.当水被加热时,气泡首先在容器壁上生成.气泡生成之后,气泡内部的容器

比较容易证明：因为R是传递关系R^2包含于R,下证R包含于R^2任意元素（x,y）属于R,因为R满足自反关系,所以（y,y）属于R所以（x,y）*（y,y）=（x,y）属于R*R因此R包含于R^2所以

就概念本质而言,你没有弄清楚.a,b具有任意性,当然不能去假定存在关系.利用对称性和传递性的前提,是二者已经存在关系的前提下,进行合理推理.而如果没有这个前提,怎么进行推理呢?再问：是不是这个意思，题