lim yn-xn=0 ,xn yn 必都收敛且极限相等
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/09/28 07:17:17
|xn|≤M-Myn≤xn.yn≤Myn-Mlim(n->∞)yn≤lim(n->∞)xn.yn≤Mlim(n->∞)yn0≤lim(n->∞)xn.yn≤0=>lim(n->∞)xn.yn=0
{Xn}有界,说明存在N,使得│Xn│≤NlimXn×Yn≤lim(N×Yn)=N*limYn因为limYn=0所以N*limYn=0,即limXn×Yn=0
limX=aa的绝对值数列{Xn}有界,所以limYn=0,limYn=0则limXnYn=0
证明:设存在一个正数M>0,使得一切n,都能得到Xn≦M,limXnYn((n→∞)=MlimYn((n→∞)=M*0=0
证数列{xn}有界存在M.对一切n,有|xn|0,存在N>0,当n>N时|yn|
用定义证明即可,因为数列{Xn}有界所以存在常数C》0,使得|Xn|N时,|Yn|N的时候|XnYn|=|Xn||Yn|
很简单1、证:充分性因为lim|Xn|=0,所以任给t>0,存在正整数N,对一切n>N有-tN都有│yn│N时总有│xnyn│
数列Xn有界,即!Xn!0,总有N>0使得当n>N时!Yn-0!0,总有N>0使得当n>N时!XnYn-0!
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用定义证明即可,因为数列{Xn}有界所以存在常数C》0,使得|Xn|N时,|Yn|N的时候|XnYn|=|Xn||Yn|
详细答案在高等数学第三版第39页
证明:因为数列{Xn}有界所以不妨假设|Xn|0)因为数列{Yn}的极限是0则对于任意给出的e,总存在N,使得n>N时,|Yn|N的时候|XnYn|=|Xn||Yn|
如果存在M>0,对任意的n都有:|xn|≤M,称数列{xn}有界.所以lim(n->正无穷)Xn=M故lim(n->正无穷)XnYn=[lim(n->正无穷)Xn]*[lim(n->正无穷)Yn]=M
数列Xn有界,即!Xn!0,总有N>0使得当n>N时!Yn-0!0,总有N>0使得当n>N时!XnYn-0!
因为limyn=0所以对任意的ε1>0,存在N1,使n>N1时,有|yn|N时,有|xnyn|=|xn|*|yn|
由Xn有界,知道存在正实数a,使得|Xn|≤a恒成立则|XnYn-0|≤a|Yn-0|由lim(n-∞)Yn=0知道,对于任意正数ξ>0,都存在实数N,使得n>N时|Yn-0|<ξ/a,即|XnYn-
因为数列{Xn}有界所以-M
(Xn)有界,所以存在正数M使得0≤|Xn|≤M,所以0≤|XnYn|≤M|Yn|右边的极限是0根据夹逼原则,lim|XnYn|=0所以limXnYn=0.也可以用定义证明.有疑问请追问,满意请选为满
因为{Xn}有界,不妨设limXn在x趋于无穷大时,limXn小于等于M,然后有LimXnYn小于等于M*LimYn=0,所以有LimXnYn=0