大师作文网若n阶矩阵A满足方程A^2 2A 3E=0,求A^-1及(A 3E)^-1
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/19 03:02:23
1.两边同时乘发A^(-1),得 A-E+A^(-1)=0,则A^(-1)=E-A2.∵a1,a2,a3都是2维向量,向量组个数3>2∴该向量组线性相关3.∵向量组的个数=向量组的秩=
2题的解法一样 根据要证明可逆的矩阵凑积＝单位矩阵的多项式 2题过程如下图：
A^3＝3A^2－3A－A^3＋3A^2－3A＝0－A^3＋3A^2－3A＋I＝I(I－A)^3＝I所以,(I－A)[(I－A)^2]＝I,即(I－A)(A^2－2A＋I)＝I,所以I－A可逆,且逆矩
由已知,A(3A-2E)=-4I所以A可逆,且A^-1=(-1/4)(A-2E).再由3A^-2A+4I=0得A(3A+2I)-(4/3)(3A+2I)+8/3I=0所以(A-(4/3)I)(3A+2
设对称矩阵的特征值分解是:A=QtMQ(Qt表示Q的转置,下同)其中M是A的特征值排成的对角矩阵AtA=EQtMQQtMQ=EQQtMMQQt=QEQt=EM平方=E又因为M是对角矩阵所以M的对角线元
A²-3A-E=0A^2-3A=EA(A-3E)=E因此A可逆,且其逆矩阵为A-3E
A+2A-3E=0,3A=3E,A=E.
因为A^2-A+E=0所以A(A-E)=-E所以A可逆,且A^-1=-(A-E)=E-A
A^2+2A+3E=0A(A+2E)=-3E(A)^-1=-(A+2E)/3运算符号不对的话,自己修正.
A^2=2A说明A的特征值只可能是0或者2,所以A-I的特征值就是1或-1再利用实对称阵正交相似于对角阵得到A-I是正交阵另一种做法是直接算出(A-I)(A-I)^T=I,但上面的方法也应该掌握
等于-1/6(A-E)?再问：有没有详细过程，怎么最后还得加个问号~~~那是确不确定啊再答：配方原方程化为（A+3E）(A-E)+6E=0把6E放到等号那边两侧同乘-1/6就有了再问：好的，谢谢~~~
因为A^2+2A+3I=0所以A(A+2I)=-3I所以A可逆,且A^-1=(-1/3)(A+2I).
A^2+2A+3E=（A-2E)(A+4E)+11E=0即（A-2E)(A+4E)=-11E所以（A-2E）^（-1）=-1/11(A+4E)另外再说句,做这种题的技巧,就是配凑法,配成要求因式×另一
A^2-2A-3I=0即A(A-2I)=3I即A*(A-2I)/3=I,所以选D再问：第一步提了个A出来威慑么2后面会有个I？再答：因为这是矩阵相乘2A=2A*I,任何矩阵与单位矩阵的乘积不变.再问：
因为A^2-2A-3E=0所以A(A-E)-(A-E)-4E=0所以(A-E)^2=4E所以A-E可逆,且(A-E)^-1=(1/4)(A-E).
题目告诉你(A+I)(A-3I)=I即A+I可逆且其逆为A-3I
（结论应该是rank(A)+rank(A-I)=n,否则是错的.例：取A=I,则A^2=I=A,但rank(A)+rank(A+I)=rank(I)+rank(2I)=n+n=2n）证法一：令U={x
这样处理:设λ是A的特征值则λ^2-λ是A^2-A的特征值由A^2-A=0,零矩阵的特征值只能是0所以λ^2-λ=0即λ(λ-1)=0所以A的特征值为0或1.
A*A-A+I=0所以A*（A-I）=-I所以|A*（A-I）|=|A|*|A-I|=|A|*|I-A|=|-I|0所以|A|,|I-A|都不等于0,所以A和I-A都可逆
A^2+2A+3I=0A^2+2A+3I=0A^2A-1+2AA-1+3A-1=0A+2I+3A-1=0A-1=(-A-2I)/3