若椭圆上存在点P,

椭圆中,有：Kpm×Kpn=－b²/a²双曲线中,有：Kpm×Kpn=b²/a²证明如下：在双曲线x²/a²－y²/b²

双曲线的类似的性质为：若M，N是双曲线x2a2−y2b2=1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上的任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，kPM与kPN之积是与点P位置无关的

因为研究的是椭圆性质,所以和椭圆是什么型的就无关了.那么设椭圆方程（你应该会吧）,然后把P点带进去得9/a^2+25/b^2=1,直接用均值定理,得a*b>=30SOS最小值为30π.

【常规解法】设P(x0,y0),PF⊥PF2,则y0/(x0+c)•/(x0-c)=-1,y0²=c²-x0².点P在椭圆上,则x0^2/a^2+y0^2/b

如图所示，设椭圆的左焦点为F′，∵以椭圆短轴为直径的圆与线段PF相切于线段PF的中点，∴切点E为PF的中点，OP=OF=OF′，∴FP⊥F′P．设|PF|=n，|PF′|=m，则m+n=2a，m2+n

根据题意,椭圆上存在点P到F的距离等于|AF|则需椭圆上点到F的距离的最大值大于|AF|而距离的最大值为a+c,|AF|=a²/c-c∴a+c>a²/c-c∴ac+c²>

再问：公式那就不懂了，公式怎么来的再答：圆与圆锥曲线的综合再问：为什么要2a-2根号c2-b2=2b?

a²=4,b²=2；c²=a²-b²=2；∴F1（-√2,0）如果直线l不存在斜率,那么l方程为：x=-√2,A,B坐标分别为:(-√2,1),（-√

【1】请画一个图.可设椭圆方程为(x/a)+(y/b)=1.(a＞b＞0).F(-C,0)为左焦点.P点在椭圆上,线段PF的中点为M,则PM=FM,圆x+y=b与线段切于点M,则MO=b,又显然有FO

设线段PF的中点为M，另一个焦点F′，由题意知，OM=b，又OM是△FPF′的中位线，∴OM=12PF′=b，PF′=2b，由椭圆的定义知 PF=2a-PF′=2a-2b，又 MF

记线段PF1的中点为M，椭圆中心为O，连接OM，PF2则有|PF2|=2|OM|，2a-2c2−b2=2b，a-2c2−a2=a2−c2，1-2e2−1=1−e2，解得e2=59，e=53．故选A．

此题是要求以F1F2为直径的圆与椭圆有公共点,即椭圆短半轴b≤圆半径C

（1）设点P（x，y），∵F1 （-m−1，0），F2 （m−1，0），设椭圆的上顶点为B（0，1），∵点P在以F1F2为直径的圆上，∠F1PF2≤∠F1BF2，只需满足BF1•B

设P点的横坐标为x∵|PF1|=2|PF2|所以P在椭圆上（x≤a）由焦半径公式有.2a-2ex=a+ex得到3ex=ax=13ea因为x≤a，即13ea≤a∴e≥13∴e的范围为[13，1)故选D．

设这样的点P(x0,y0)由第二定义PF1/(a^2/c+x0)=ePF1=a+ex0,同理PF2=ex0-a所以a+ex0/ex0-a=2/1有x0=3c所以存在这样的点

如图

由焦半径公式：F1M=a+exF2M=a-exF1F2=2ccos120=-1/2=[(a+ex)^2+(a-ex)^2-4c^2]/2(a+ex)*(a-ex)整理得：3a^2-e^2x^2-4e^

解,假设a>c,由题知1＞PF1/PF2=e≥(a-c)/(a+c),这时P点位于椭圆的长轴端即(a-c)/(a+c)≤e＜1,左端上下同除以a并整理得e^2+2e-1≥0解得e≥√2－1或e≥－1－

如图所示，下面证明椭圆的短轴的一个端点是到椭圆的中心距离最短的点．设椭圆上任意一点P（x0，y0），则x20a2+y20b2＝1，可得y20＝b2(1−x20a2)．∴|OP|2=x20+y20=x2