设A,B为n阶方阵,且AB=0,证明:R(A) R(B)小于等于n
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/06 21:27:29
见http://zhidao.baidu.com/question/449580128.html
若AB=0,则说明B的列向量都是AX=0的解因为r(B)=n,所以AX=0至少有n个线性无关的解设解集为S,则r(S)=n-r(A)>=n即r(A)=0所以r(A)=0即A=0
A可逆,A^(-1)ABA=BA,因此AB与BA相似
因为AB=0所以B的列向量都是AX=0的解.所以B的列向量组可以由AX=0的基础解系线性表示所以r(B)
由2A-B-AB=E及A^2=A得A+A^2-AB-B=E,所以(A-B)(A+E)=E,由此知,A-B可逆,且其逆为A+E.
A+B+AB=0(I+A)(I+B)=-I即I+A可逆,逆矩阵为-(I+B).因此(I+B)(I+A)=-I即A+B+BA=0所以AB=BA
设r(A)=p则存在矩阵P1,Q1使得P1AQ1=C1(C1只有前p行,前p列不为0)则A=P1^-1C1Q1^-1设r(B)=q则存在矩阵P2,Q2使得P2BQ2=C2(C2只有后q行,后q列不为0
首先明确一点A是可逆的,如果A不可逆,AA-AB=A(A-B)的秩小于A,那么AA-AB≠E.AA-AB=A(A-B)=E;AAA-ABA=A,所以AA-BA=E.AB-BA+2A=(AB-AA)+(
证明:由于矩阵A可逆,因此A-1存在,故A-1(AB)A=(A-1A)BA=BA,故AB与BA相似
AA*=|A|Er(A)=n-1,说明|A|=0因此AA*=0于A*的列向量为齐次方程AX=0的解向量从而r(A*)=1总之r(A*)=1
选B因为若|A|不等于0,则A可写成一系列初等矩阵的乘积,AB相当于对B作一系列初等变换,初等变换不改变矩阵的秩,所以AB同B有相同的秩,但是,由于AB=0,所以其秩为0,而B不等于0,所以其秩至少为
A,B为n阶方阵,且AB=0,其中A不等于0,B=0不成立(A-B)^2=A^2+B^2也不成立(A-B)^2=A^2+B^2-AB-BA,-AB-BA这两项是不能随便丢弃的,并且很多时候AB不等于B
由AB=A+B,有(A-E)(B-E)=AB-A-B+E=E.A-E与B-E互为逆矩阵,于是也有(B-E)(A-E)=E.展开即得BA=A+B=AB.
AB=0左右取行列式得|A||B|=0所以|A|=0或|B|=0
由A可逆,且AB=0等式两边左乘A^-1得A^-1AB=A^-10即B=0所以(A)正确
AB=0,则B的列向量都是Ax=0的解因为B≠0,所以Ax=0有非零解,所以|A|=0.同理.AB=AC即A(B-C)=0若能推出B=C则Ax=0只有零解,所以|A|≠0|A|≠0r(A)=nAx=0
又是没悬赏的哈AB=0说明B的列向量都是齐次线性方程组Ax=0的解而B≠0说明Ax=0有非零解所以|A|=0,即A不可逆
我只说简单的步骤,你可以自己试着推一下.(1)n阶方阵可以化成上三角阵和一些初等矩阵的乘积.(2)证明初等矩阵的乘积的行列式等于他们各自行列式的乘积.(3)证明上三角阵和上三角阵的乘积的行列式等于他们
BA=A+BB=BA-AB=(B-I)A(I=identitymatrix)(B-I)^(-1)*B=(B-I)^(-1)*(B-I)*A(B-I)^(-1)*B=A(B-I)^(-1)*B*B=AB