设A为m×n实矩阵.证明:ATA为正定矩阵的充分必要条件-搜答案-大师作文网

A为非零矩阵所以A的秩>0假设A不可逆则A的秩=r(A)+r(B)-n可知0=r(|A|E)=r(A*A)>=r(A*)+r(A)-n=r(A*)-1从而r(A*)0从而r(A*)=1于是r(AT)=

方法:证明齐次线性方程组AX=0(1)与A^TAX=0(2)同解即可显然(1)的解是(2)的解设X0是(2)的解,则A^TAX0=0所以X0^TA^TAX0=0所以(AX0)^T(AX0)=0所以AX

利用知识点r(AB)

初等行变换相当于在矩阵的左边乘一系列初等矩阵初等矩阵的乘积是可逆矩阵P(A,B)=(E,X)PA=EPB=X得P=A^-1,X=A^-1B

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这要用到性质:1.(AB)'=B'A',其中A'表示A的转置.2.A是对称矩阵的充分必要条件是A'=A那么就有(AA')'=(A')'A'=AA'所以AA'的对称矩阵.

证:由A*=A^T得AA^T=AA*=|A|E.又A为非零实矩阵,不妨设A的第一行不全为0,考虑A的第一行分别乘A^T的第一列之和,则有|A|=a11^2+a12^2+...+a1n^2≠0所以A可逆

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证:首先(A^TA)^T=A^T(A^T)^T=A^TA故A^TA是对称矩阵.又对任一非零列向量x由r(A)=n知AX=0只有零解所以Ax≠0再由A是实矩阵,所以(Ax)^T(Ax)>0即x^T(A^

首先,因为(A'A)'=A'(A')'=A'A,所以A'A是对称矩阵.又对任一非零向量X,由于r(A)=n,所以AX≠0.(否则AX=0有非零解)所以X'(A'A)X=(AX)'(AX)>0.所以A'

应该是行列式|AB|=0因为A为m*n的矩阵所以r(A)

参考\x09　　人是那样复杂的一种动物,想了解对方根本是不可能的一件事,没有了解,又不能相处,倒不如独身.——《美娇袅》

首先证明任取n维列向量x≠0,Bx≠0因为R(B)=n,所以存在B的n级子式不为0,不妨设B前n行构成的子式|B1|不为0,则若B1x=0必有x=0,矛盾.所以B1x≠0,所以Bx≠0.这样因为A正定

1、因为A*A'('表示转置)为n*n的矩阵,而一个矩阵的秩必≤它的行数或列数,所以r(A*A')≤n可以直接得到.2、需要说明的是,r(n)中的n是什么?你可能看错了,一个数是不必算秩的（一个非0数

1、当m为偶数时,A^m=[A^(m/2)]'[A^(m/2)]为正定阵2、当m为奇数时,A^m=A^((m-1/)2)AA^((m-1)/2)=[A^((m-1/)2)]'AA^((m-1)/2)=

AB的维数：m*m,是个方阵R(AB)

证:对任一n维向量x≠0因为r(A)=n,所以Ax≠0--这是由于AX=0只有零解所以(Ax)'(Ax)>0.即有x'A'Ax>0所以A'A为正定矩阵.注:A'即A^T

利用定义就可以了,对任意的非零向量xx^T(E+A^TA)x=x^Tx+(Ax)^T(Ax)>0

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