试说明N=25×3的2m 1次方×2的n次方

2^(n+4)-2^n=2^n*2^4-2^n=2^n(2^4-1)=2^n(16-1)=15*2^n=3*5*2^n∴{2^(n+4)-2^n}÷3={3*5*2^n}÷3=5*2^n

3^(n+3)-4^(n+1)+3^(n+1)-2^2n=3^(n+3)+3^(n+1)-4^n-4^(n+1)=3^(n+1)*(3²+1)-2^2n*(1+4)=10*3^(n+1)-1

5^2×3^（2n-1）×2^n-3^n×6^（n+2)=5^2×3^（2n-1）×2^n-3^n×3^（n+2)×2^（n+2)=5^2×3^（2n-1）×2^n-3^(2n+2)×2^（n+2)=

证明：3^（n+3）﹣4^（n+1）+3^（n+1）﹣2^2n=9×3^（n+1）+3^（n+1）﹣4×4^n﹣4^n=10×3^（n+1）﹣5×4^n∵2整除4^n,∴10整除原式

“3n-2n”是不是3的N次方—2的N次方再问：是的再答：3^(N+2)-2^(N+2)+3^N-2^N=3^N(3^2+1)-2^N(2^2+1)=3^N×10-2^N×53^N×10能被10整除，

3^(n+2)-3^n=3^(n-1)*(3³-3)=3^(n-1)*24所以能被24整除

(n+7)^2-(n-5)^2=(n+7+n-5)(n+7-n+5)=12(2n+2)=24(n+1)(n+7)的2次方-(n-5)的2次方能被24整除

原式=3^n(3^2-4*3+10)=3^n*7因为3^n*7可以被7整除所以[3^(n+2)-4*3^(n+1)+10*3^n]可以被7整除

证明：5^2×3^(2n+1)×2^n-3^n×6^(n+2)=5^2×3^(2n+1)×2^n-3^n×(2×3)^(n+2)=5^2×3^(2n+1)×2^n-3^n×2^(n+2)×3^(n+2

因为：5x3^(2n+1)x2^n-(3^n)x6^(n+2)=75x18^n-36x18^n=39x18^n所以：其中因式39能被13整除,因此命题成立!

5^2*3^(2n+1)*2^n-3^n*6^(n+2)=25*3^(2n+1)*2^n-3^n*3^(n+2)*2^(n+2)=25*3^(2n+1)*2^n-3^(2n+1)*3*2^n*4=3^

N=25×3^(2n-1)×2^n-3^n×6^(n+2)=(25/3)×3^2n×2^n-36×3^n×3^n×2^n=(25/3-36)×3^2n×2^n=(-83/3)×3^2n×2^n不能被1

2的n+4次方-2的n次方=2的n次方×2的4次方-2的n次方=16×2的n次方-2的n次方=15×2的n次方所以一定能被15整除

N=25*3^(2n+1)2^n-3^(2n+2)2^(n+2)=3^(2n+1)2^n[25-3*2^2]=13*3^(2n+1)2^n所以能被13整除

证明：把m,n,3k表示为log以3为底的对数,因为m+n=log32+log332=log364=3log343k=3log34所以m+n=3k

2的4n次方*8-16的n次方2^4n*8-2^4n=(8-1)2^4n=7*2^4n7*2^4n÷7=2^4n又因为n为整数所以2的4n次方*8-16的n次方能被7整除

5的平方×3的2N+1次方×2的N次方-3的N次方×6的N+2次方=25×3×3^2N×2^N-36×3^N×6^N=75×9^N×2^N-36×3^N×6^N=75×18^N-36×18^N=39×

3^M=23^N=323^K=4因为2x32=64=4^3所以（3^M）x(3^N)=(3^K)^3即3^(M+N)=3^(3K)所以M+N=3K提示：也可以取对数,以3为底.

原式=5²*3的2n次方-3的n次方*3的n+1次方*2的n+1次方=5²*3的2n次方-3*3的2n次方*2的n+1次方=3的2n次方*(5²-3*2的n+1次方)这个

N=25×6^n×3^(n+1)-3^(n+2)×2²×6^n=6^n×3^(n+1)×(25-3×2²)=6^n×3^(n+1)×13所以能被13整除