若a1.a2.a3都是3维向量，记

若a1,a2,a3线性相关,则向量组B:a1,a2,a3,a1+a2（线性相关,）

a1+2a2,2a2+3a3,a1+2a2+3a3线性无关.r[a1+2a2,2a2+3a3,a1+2a2+3a3]可以求出来,具体为第3列减第二列,然后以此类推,变为a1,a2,a3.

|3a1+a22a2a3|=|3a12a2a3|+|a22a2a3|=|3a12a2a3|+0=3^3*2^3|a1a2a3|=216|a1a2a3|=216d

对B进行初等列变换,C2－C1,然后对换C1跟C2两列（此时要多加个负号）,即：－（2a1,a2,a3）,所以|B|＝－2|A|＝－6,我也是刚学这个的,不知有没错.

(a1+a2+a3,a1+2a2+4a3,a1+3a2+9a3)=(a1,a2,a3)P其中P=111123149即有B=AP所以|A|=|A||P|=|P|=(2-1)(3-1)(3-2)=2.注:|P|是Vandermonde行列式

已知n维向量组A:a1,a2线性无关,b1,b2线性无关,且a1,a2分别与b1,b2正交,证明a1,a2,b1,b2线性无关设x1a1+x2a2+y1b1+y2b2=0,证明x1=x2=y1=y2=0即可.x1a1+x2a2=-y1b1-

首先,因为a1,a2线性无关,则a1,2a2也线性无关；其次,因为a1,a2,a3线性相关,则存在实数x、y使a3=xa1+ya2,因此3a3=3xa1+3ya2=(3x)a1+(3y/2)*(2a2),所以a1,2a2,3a3线性相关,由

证明：设有k1,k2,k3使：k1a1+k2a2+k3a3=0因a3不能由a1,a2线性表示,k3=0,故k1a1+k2a2=0因a2不能由a1线性表示,k2=0,故k1a1=0因a1不等于0,所以：k1=0由于k1,k2,k3全为0,所以

利用反证法1：假定a1,a2,a3线性相关,既存在不全为零的常数m,n,t使得ma1+na2+na3=O.若t!=0,则a3=-(m/t)a1-(n/t)a2,由此a3可由a1,a2线性表示,与已知矛盾,因此t=0.所以ma1+na2=O.

这个是秩的定义：一个向量组的秩就是其极大线性无关组所含向量的个数.

假设a1+a2,a2+a3,a3-a1线性无关,则有全为0的k1,k2,k3.k1(a1+a2)+k2(a2+a3)+k3(a3-a1)=0(k1-k3)a1+(k1+k2)a2+(k2+k3)a3=0因为向量组a1a2a3线性无关,k1-

只须证明它们可以互相线性表示.令b1=a1+a2,b2=a2+a3,b3=a3+a1,则向量组｛b1,b2,b3｝可以用｛a1,a2,a3｝线性表示,因为b1+b2+b3=(a1+a2)+(a2+a3)+(a3+a1)=2(a1+a2+a3

可以用反证法来做.假设a1,a2,a3线性相关则a3可以用a1和a2来表示不妨设：a3=ma1+na2则a2+a3=ma1+(n+1)a2a1+a3=(m+1)a1+na2然后尝试用（a1+a2）和（a1+a3）来表示（a2+a3）设（a2

因为a1,a2线性无关,而a1,a2,a3线性相关所以a3可由a1,a2线性表示,所以a3可由a1,2a2线性表示.又由a1,a2线性无关,所以a1,2a2线性无关(否则a1,a2线性相关).故a1,2a2为极大无关组

（a1+a3,3a1-a2,-a2+a3)＝（a1+0a2+a3,3a1-a2+0a3,0a1-a2+a3)＝＝（a1,a2,a3）·DD＝┌130┐│0-1-1│└101┘

用定义设k1（a1+a2）+k2（3a2+2a3）+k3（a1-2a2+a3）=0重新分组：a1(k1+k3)+a2(k1+3k2-2k3)+a3(2k2+k3)=0因为a1,a2,a3线性无关,所以有方程组：k1+k3=0;k1+3k2-

(b1,b2,b3)=(a1,a2,a3)KK=111-1111-11求出K的逆即得.(a1,a2,a3)=(b1,b2,b3)K^-1由于K^-1=1/2-1/201/20-1/201/21/2所以a1=(1/2)(b1+b2)a2=(1

推导一下,对于B的行列式,第三列减去第二列,然后第二列减去第一列,得|a1+a2+a3,a2+3a3,a2+5a3|,然后第三列减去第二列,得|a1+a2+a3,a2+3a3,2a3|,然后第二列X2,第三列X3,对应行列式前提取所乘数字,