已知f(xy)=f(x)+f(y) 求证f(x)=logaX

来源：学生作业帮编辑：大师作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/10 14:54:06

这个性质是从实际对数抽象出来的性质,可称为对数性质,与其相对应的有指数性质,线性性质,三角函数性质.
证明：已知f(xy)=f(x)+f(y)且f(a)=1.
f(1)=f(1)+f(1)可知f(1)=0.
当n为自然数时,f(a^n)=f(a)+f(a^n-1)=1+f(a^n-1)=...=n(递推关系).
当n为负整数时,由f(1)=f(a*(1/a))=f(a)+f(1/a)=0 可得f(1/a)=-1,由于上述类似的递推关系可知,f(a^-n)=-n.即当n为整数时,函数f(x)的值与logaX完全对应.
当n为有理数时（有理数均可表示为两个整数相除,证略,可百度）,另n=c/d,其中c,d为整数.
f([a^(c/d)]^d)=f(a^(c/d))+f(a^(c/d))+...+f(a^(c/d))(共d个)=d*f(a^(c/d))=f(a^c)=c
即f(a^(c/d)）=c/d.即当n为有理数时,函数f(x)的值与logaX完全对应.
当f(a^n)中的n为无理数时,可采用逼近法.取n的前若干位小数（如根号2取1.414）,找到比它稍小的和稍大的数e,f（显然可以找到,如1.415和1.413）,则f(a^e)=e,f(a^f)=f,由于n不管多少位均可找到相应的e,f,所以当位数趋于无穷大时,f(a^e)=f(a^n)=f(a^f),e=f=n.[由于本身a^n,n为无理数就是为了使指数函数连续而逼近出来的,此处也进行了逼近].即n为任意数时,f(a^n)=n.
而a^n>0,即对于所有大于0的实数,函数f(x)的值与logaX完全对应.即f(x)=logaX.
实际上,对数性质所对应的并不是对数,可以证明,它应该是当x>0时为对数函数的一个偶函数.

已知f(xy)=f(x)+f(y) 求证f(x)=logaX 已知函数f(x)对于任意实数xy 满足f(x+y)=f(x)+f(y).求证f(x-y)=f(x)-f(y) 已知f(x)=logax(0 f(xy)=f(x)+f(y),证明f(x/y)=f(x)-f(y) 已知函数f(x)=logax,若f(2) f(x)是定义域在正实数的递增函数,且f(xy)=f(x)+f(y),求证：f(x/y)=f(x)+f(y) f(x)对于任意实数xy总有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)成立,求证f(x)为偶函数已知f(x）的定义域为{x>o},且f(x)在其上为增函数,f(xy)=f(x)+f(y),求证f(x/y)=f(x)- 已知y=f(x)是定义在R正整数上的增函数,且f(xy)=f(x)+f(y),求证:f(x/y)=f(x)-f(Y) 已知函数f(x)在定义域为(0,正无穷)且fx为增函数,f(xy)=f(x)+f(y),求证f(x/y)=f(x)-f( f(x)=logax x的定义域已知函数f(x),若f(x+y)=f(x)+f(y)对于任意实数x,y都成立. 求证f(2x)=2f(x)