刘老师好,问一道线性代数的题目

来源：学生作业帮编辑：大师作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/10 11:40:07

刘老师好,问一道线性代数的题目
A为三阶矩阵A=[0,1,-2 / 1,0,-1 / -2,-2,0 ] ,求可逆矩阵C,使得CTAC为对角矩阵
这道题目我是想通过|λE - A| 求出特征值λ,求出特征向量,正交化来求C,但是计算λ的时候,总是算得λ=+-1,λ=+-根号3+1 是我算错了? 请老师帮解答一下,或者推荐更合适的方法,感谢
上面矩阵搞错了,是这个
[0 1 -2]
[1 0 -1]
[-2 -2 0]

你确认 A=
[0 1 -2]
[1 0 -1]
[-2 -2 0]
有1处不对称吗?
再问：不好意思
[0 1 -2]
[1 0 -1]
[-2 -1 0]
求帮解答，感谢!!!
再答： |λE-A| =
|λ -1 2|
|-1 λ 1|
|2 1 λ|
|λE-A| =
|λ -1 2|
|λ^2-1 0 2λ+1|
|λ+2 0 λ+2|
=(λ+2)(λ^2-2λ-2)
得 λ=-2，1±√3. 无重特征值，则特征向量正交。
对于 λ=-2，λE-A =
[-2 -1 2]
[-1 -2 1]
[2 1 -2]
得特征向量 (1, 0, 1)^T，单位化 (1/√2, 0, 1/√2)^T;
对于 λ=1-√3，λE-A =
[1-√3 -1 2]
[-1 1-√3 1]
[2 1 1-√3]
得特征向量 (-1, 1+√3, 1)^T,
单位化 (-1/√[6+2√3], (1+√3)/√[6+2√3] , 1/√[6+2√3])^T;
对于 λ=1+√3，λE-A =
[1+√3 -1 2]
[-1 1+√3 1]
[2 1 1+√3]
得特征向量 (-1, 1-√3, 1)^T,
单位化 (-1/√[6-2√3], (1-√3)/√[6-2√3] , 1/√[6-2√3])^T.
取正交矩阵 C =
[1/√2 -1/√(6+2√3) -1/√(6-2√3)]
[0 (1+√3)/√(6+2√3) (1-√3)/√(6-2√3)]
[1/√2 1/√(6+2√3) 1/√(6-2√3)]
可使得 C^TAC = B = diag(-2, 1-√3, 1+√3)
因超出字数，故省略了中间步骤，要不你重新求助提问。

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