多个正态分布随机变量的线性组合公式

来源：学生作业帮编辑：大师作文网作业帮分类：综合作业时间：2024/11/11 11:30:47

多个正态分布随机变量的线性组合公式
网上给的教材说的都是是两个变量的线性组合公式
可是我目前有11个变量
请问多变量的公式是怎么变化的?
总期望倒是很好想,把11个变量的期望加起来即可,但是方差会怎么变化呢?不会是把11个变量的方差加起来就是总方差吧?

结果和随机变量的独立性有关,下面给出一般性结论,先做一些符号说明：
设随机变量Xi与Xj的期望分别为E(Xi)=μi,E(Xj)=μj,1≤i,j≤n
协方差为E[(Xi-EXi)*(Xj-EXj)]= E[(Xi-μi)*(Xj-μj)]=σij
显然,σij=σji,且当i=j时,D(Xi)=σii

令Y=∑{i=1,n}(ci*Xi)=c1*X1+c2*X2+...+ cn*Xn,则
D(Y)=E{∑{i=1,n}(ci*Xi)-E[∑{i=1,n}(ci*Xi)]}²
=E[∑{i=1,n}(ci*Xi)-∑{i=1,n}E (ci*Xi)]²
=E[∑{i=1,n}(ci*Xi)-∑{i=1,n}(ci*μi)]²
=E[∑{i=1,n}ci*(Xi-μi)]²
=E{∑{i=1,n}ci²*(Xi-μi)²+∑{i≠j}[ci*cj*(Xi-μi)*(Xj-μj)]}
=E{∑{i=1,n}ci²*(Xi-μi)²+2*∑{1≤i

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