大师作文网基础数论的两道证明题,麻烦大家帮下忙,
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/12 13:05:50
基础数论的两道证明题,麻烦大家帮下忙,
1.已知P是一个正整数,P和2P+1都是质数并且P≡3 mod 4
证明：2^(p)≡1 mod 2p+1
2.令P是个不等于13的质数
证明：存在一个X使得X^2≡13 mod p当且仅当P≡1,3,4,10或者12 mod 13
1.已知P是一个正整数,P和2P+1都是质数并且P≡3 mod 4
证明：2^(p)≡1 mod 2p+1
2.令P是个不等于13的质数
证明：存在一个X使得X^2≡13 mod p当且仅当P≡1,3,4,10或者12 mod 13
一、p=3mod 4 -->2p+1=7(mod 8)-->-2不是2p+1的平方剩余
2^(2p)=1(mod 2p+1) --> 2^p=1或-1（mod 2p+1)
若 2^p=-1(mod 2p+1)-->2^(p+1)=-2(mod 2p+1)-->-2是2p+1平方剩余,此有矛盾.
因此2^p=1（mod 2p+1)
二、还是用二次剩余解决.P=2显然可以,以下p不等于2和13
要求1＝（13/P）＝（P/13)
即要求P是13的二次剩余,对1^2,2^2,.,6^2试测有：P＝1,4,9,3,12,10 (mod 13)
题目有点问题：p可以＝2,包括p模13为9
再问： 谢谢第一题的答案，第二题确实有点问题，不好意思，我问题打错了，是当且仅当P=1，3，4，9，10，12 (mod 13),原题少了9.......帮我看看该如何解
再答： 不是已经解了吗，还有P＝2也满足要求。 二、 P=2显然可以，以下设p不等于2和13 原题即要求legendre：（13/P）＝（P/13)＝1 即要求P是13的二次剩余，取1^2, 2^2, ...., 6^2有：P＝1,4,9，3,12,10 (mod 13) 结果：P＝1,4,9，3,12,10 (mod 13) 或 2
2^(2p)=1(mod 2p+1) --> 2^p=1或-1（mod 2p+1)
若 2^p=-1(mod 2p+1)-->2^(p+1)=-2(mod 2p+1)-->-2是2p+1平方剩余,此有矛盾.
因此2^p=1（mod 2p+1)
二、还是用二次剩余解决.P=2显然可以,以下p不等于2和13
要求1＝（13/P）＝（P/13)
即要求P是13的二次剩余,对1^2,2^2,.,6^2试测有：P＝1,4,9,3,12,10 (mod 13)
题目有点问题：p可以＝2,包括p模13为9
再问： 谢谢第一题的答案，第二题确实有点问题，不好意思，我问题打错了，是当且仅当P=1，3，4，9，10，12 (mod 13),原题少了9.......帮我看看该如何解
再答： 不是已经解了吗，还有P＝2也满足要求。 二、 P=2显然可以，以下设p不等于2和13 原题即要求legendre：（13/P）＝（P/13)＝1 即要求P是13的二次剩余，取1^2, 2^2, ...., 6^2有：P＝1,4,9，3,12,10 (mod 13) 结果：P＝1,4,9，3,12,10 (mod 13) 或 2