大师作文网已知函数f（x）=log21+x1−x．
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/11 10:32:30
已知函数f（x）=log
（1）∵由
1+x
1−x＞0，得（1+x）（1-x）＞0，解之得-1＜x＜1，
∴f（x）的定义域是（-1，1）（3分）
（2）由（1）知x∈（-1，1），定义域关于原点对称
∵f（-x）=log2
1+(−x)
1−(−x)=log2
1−x
1+x
而-f（x）=-log2
1+x
1−x=log2(
1+x
1−x)−1=log2
1−x
1+x．
∴f（-x）=-f（x），可得函数f（x）是奇函数．（6分）
（3）设-1＜x1＜x2＜1，
f（x2）-f（x1）=log2
1+x2
1−x2-log2
1+x1
1−x1=log2
(1−x1)(1+x2)
(1+x1)(1−x2)
∵1-x1＞1-x2＞0；1+x2＞1+x1＞0，
∴
(1−x1)(1+x2)
(1+x1)(1−x2)＞1，结合底数2＞1得log2
(1−x1)(1+x2)
(1+x1)(1−x2)＞0．
∴f（x2）-f（x1）＞0，得f（x1）＜f（x2）
因此，函数f（x）=log2
1+x
1−x在（-1，1）上是增函数．
1+x
1−x＞0，得（1+x）（1-x）＞0，解之得-1＜x＜1，
∴f（x）的定义域是（-1，1）（3分）
（2）由（1）知x∈（-1，1），定义域关于原点对称
∵f（-x）=log2
1+(−x)
1−(−x)=log2
1−x
1+x
而-f（x）=-log2
1+x
1−x=log2(
1+x
1−x)−1=log2
1−x
1+x．
∴f（-x）=-f（x），可得函数f（x）是奇函数．（6分）
（3）设-1＜x1＜x2＜1，
f（x2）-f（x1）=log2
1+x2
1−x2-log2
1+x1
1−x1=log2
(1−x1)(1+x2)
(1+x1)(1−x2)
∵1-x1＞1-x2＞0；1+x2＞1+x1＞0，
∴
(1−x1)(1+x2)
(1+x1)(1−x2)＞1，结合底数2＞1得log2
(1−x1)(1+x2)
(1+x1)(1−x2)＞0．
∴f（x2）-f（x1）＞0，得f（x1）＜f（x2）
因此，函数f（x）=log2
1+x
1−x在（-1，1）上是增函数．