求{∞a,∞b,∞c,∞d}的n-组合,其中a出现偶数次,b出现奇数次,要求用指数生成函数求解

求{∞a,∞b,∞c,∞d}的n-组合,其中a出现偶数次,b出现奇数次,要求用指数生成函数求解
我求出来是4的n-1次方,但明显不对.求指教

It will be convenient to deal with by using ordinary generating functions,i.e.,
x/(1-x^2)^2/(1-x)^2.
Then find the explicit formula by checking OEIS A006918.Such a formula is
a(n) = (n+2)*(2*n*(n+4)-3*(-1)^n+3)/48.
To use exponential generating functions,you need a good explanation for the relation between what you want and the coefficients of the e.g.f.
再问： 你怎么在OEIS查到这个的？百度百科上只提供了 “一、输入名称：.... 二、输入数字：...” 两种方法。 指数生成函数不是（1+x^2/2!+x^4/4!+...)(x+x^3/3!+x5/5!+...)(1+x+x^2/2!+...)(1+x+x^2/2!+...)吗？然后得到关于e^x的表达式再泰勒展开，a(n)就是x^n/n!的系数。 悬赏已提高，请不吝赐教
再答： shaode01你好，谢谢你提高悬赏。 常见的生成函数有两种：ordinary g.f. 和 exponential g.f. 你说的”(1+x^2+x^4+...)(x+x^3+x5+...)(1+x+x^2+...)(1+x+x^2+...)“是前者。你说的”指数生成函数“是后者，按它列出来的式子是(1+x^2/2!+x^4/4!+...)(x+x^3/3!+x^5/5!+...)(1+x/1!+x^2/2!+...)^2，将它化简成(e^{4x}-1)/4；可惜这不是要求的计数。 这个题目推荐使用前者。做法是先把你的表达式(1+x^2+x^4+...)(x+x^3+x5+...)(1+x+x^2+...)(1+x+x^2+...)化简成x/(1-x^2)^2/(1-x)^2，然后taylor展开，其x^n的系数即为所求。 你可以展开前几项，得到系数序列0, 1, 2, 5, 8, 14, 20, 30, 40, 55... 将这些项输入OEIS，可以得到A006918。除了你说的方法，OEIS还有一些常用技巧，用多了自然会懂。
再问： 可惜这不是要求的计数。 为什么？
再答： 这要从指数生成函数和ordinary生成函数的定义去理解。在因子(1+x^2+x^4+...)中，每个系数为1，表示“在选a的时候只要指定个数，那么选法数就是确定的”。当它的项x^{2k}出现对最终乘积做出贡献的时候，代表在选n个东西的时候选了2k个a。其余因子解释类似。所以，x^n的系数就恰为所求。把以上理解挪到指数生成函数中，会发现(e^{4x}-1)/4中x^n/n!的系数的解释并非你所愿。
再问： 不明白挪到指数生成函数怎么就不同了？
再答： 你可以想一想，指数生成函数中的一项(1+x^2/2!+x^4/4!+...)，当它贡献x^{2k}/(2k)!时代表什么？
再问： 一般生成函数中x^{2k}对x^n的贡献代表选了2k个a，指数生成函数x^{2k}/(2k)!对x^n/n!的贡献确实不能简单的类比，但书上有证明啊，而且有例题{∞1,∞3,∞5,∞7,∞9}的n-组合,其中1和3出现偶数次。 （1+x^2/2!+x^4/4!+...)^2(1+x+x^2/2!+...)^3 =[(e^x+e^(-x))^2/4]*e^{3x} =(e^{5x}+2e^{3x}+e^x)/4 =...泰勒展开 = ∑[（5^n+2*3^n+1)/4]*(x^n/n!) 中括号里面的就是要求的结果
再答： 如果这是一本汉语书，那么该题目之前应该对什么叫"n-组合"给过定义。假设你新举的这个例子是书上的一个正确的例子，那么它的计数结果一般被称为“n-排列”，英文是composition，表示计较不同的数字之间的顺序。比如当n=2时，该结果显示5^n+2*3^n+1)/4=11。即有如下可能： 11, 33, 55, 77, 99, 35, 53, 37, 73, 39, 93. 可见，35和53被认为是不同的。所谓"n-组合“，一般的理解是选出的元素之间不计较顺序，所以你的新例子中按照”n-组合“算得的结果并非5^n+2*3^n+1)/4=11，而是应该用o.g.f.，在n=2时的结果应为8，枚举即 11, 33, 55, 77, 99, 35, 37, 39. 回到初始问题，你得到的4^{n-1}是”n-composition“的计数结果，是对的。 比如n=2时，结果为4^{2-1}=4，枚举如下： bc, bd, cb, db. 而不是我们用o.g.f算得的结果2： bc, bd. 一般来说，这也是ogf和egf的一个区别：ogf不计较顺序，属于combination/partition；egf计较顺序，属于composition。