几道高中数学竞赛题（有关函数）

几道高中数学竞赛题（有关函数）
1.设a、b满足2a^2+6b^2=3,证明函数f(x)=ax+b在[－1,1]上满足
|f(x)|≤√2
2.关于x的实系数二次方程x^2+ax+b=0有两个实数根α、β,证明：
（1）如果|α|

4 已知函数f(x)=ax+1-√(1+x^2)在[0,+∞)上是单调函数,求a的取值范围.
根据函数增减性的定义计算即可.
设0≤x10,
f(x2)-f(x1)=a(x2-x1)-(√(1+x2^2)-√(1+x1^2))
=a(x2-x1)-[(1+x2^2)-(1+x1^2)]/(√(1+x2^2)+√(1+x1^2))
=a(x2-x1)-(x2^2-x1^2)/(√(1+x2^2)+√(1+x1^2))
=(x2-x1)*[a-(x2+x1)/(√(1+x2^2)+√(1+x1^2))]
如果f(x)为增函数,则f(x2)-f(x1)(x2+x1)/(√(1+x2^2)+√(1+x1^2)),∀x∈[0,+∞)
上式右边总是小于1的,但是可以无限趋近于1,所以a≥1.
xiaofeier8 的解法中,f(x)的导数求错了,
f'(x)=a-x/sqrt(1+x^2)≠a-1/ 2√1+x^2.
1.设a、b满足2a^2+6b^2=3,证明函数f(x)=ax+b在[－1,1]上满足|f(x)|≤√2
解法一：f(x)是一次函数,其最值在端点处取得,故只需要证明|f(1)|≤√2,|f(-1)|≤√2即可,即
|b+a|≤√2,|b-a|≤√2,
可以用解法二的证法,也可以用不等式证明.
因为2*a^2+6*b^2=3,故a^2+b^2=3/2,
由算术平均≤平方平均,
对任意四个非负数x1、x2、x3、x4,有(x1+x2+x3+x4)/4≤sqrt((x1^2+x2^2+x3^2+x4^2)/4) ,
令x1=x2=x3=|a|/3,x4=|b|,
得(|a|+|b|)/4≤sqrt((a^2/3+b^2)/4)=sqrt((a^2+3*b^2)/12)=sqrt((3/2)/12)=1/√8,
所以|a|+|b|≤4/√8=√2,
于是|b+a|≤|a|+|b|≤√2,
|b-a|≤|a|+|b|≤√2.
证毕.
2a^2+6b^2=3变形为：2/3*a^2+2*b^2=1,
即a^2/(3/2)+b^2/(1/2)=1,
设 a=√(3/2)*cos θ,b=√(1/2)*sin θ,
|f(x)|=|ax+b|=|x*√(3/2)*cos θ+√(1/2)*sin θ|
=sqrt(x^2*3/2+1/2)*|sin(θ+φ)|
（利用公式 A*cos α+B*sin α=sqrt(A^2+B^2)*sin(α+ψ)）
≤sqrt(x^2*3/2+1/2)
≤sqrt(1*3/2+1/2) （x^2≤1）
=√2.
证毕.
xiaofeier8 的解法中,把f(x)当成向量值函数f(x)=(ax,b)了,不知道是不是提问者之前输错了.
★我想说一句,在第2题第1问中有人说由于(α+2)(β+2)>0得到
αβ+2(α+β)+4>0
又由韦达定理得b-2a+4>0
∴2a