(2009•上海)已知函数y=f(x)的反函数.定义:若对给定的实数a(a≠0),函数y=f(x+a)与y=f-1(x+
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/09/27 23:28:49
(2009•上海)已知函数y=f(x)的反函数.定义:若对给定的实数a(a≠0),函数y=f(x+a)与y=f-1(x+a)互为反函数,则称y=f(x)满足“a和性质”;若函数y=f(ax)与y=f-1(ax)互为反函数,则称y=f(x)满足“a积性质”.
(1)判断函数g(x)=x2+1(x>0)是否满足“1和性质”,并说明理由;
(2)求所有满足“2和性质”的一次函数;
(3)设函数y=f(x)(x>0)对任何a>0,满足“a积性质”.求y=f(x)的表达式.
(1)判断函数g(x)=x2+1(x>0)是否满足“1和性质”,并说明理由;
(2)求所有满足“2和性质”的一次函数;
(3)设函数y=f(x)(x>0)对任何a>0,满足“a积性质”.求y=f(x)的表达式.
解(1)函数g(x)=x2+1(x>0)的反函数是g−1(x)=
x−1(x>1),
∴g−1(x+1)=
x(x>0),
而g(x+1)=(x+1)2+1(x>-1),其反函数为y=
x−1−1(x>1),
故函数g(x)=x2+1(x>0)不满足“1和性质”.
(2)设函数f(x)=kx+b(x∈R)满足“2和性质”,k≠0.
∴f−1(x)=
x−b
k(x∈R),∴f−1(x+2)=
x+2−b
k,
而 f(x+2)=k(x+2)+b(x∈R),得反函数 y=
x−b−2k
k,
由“2和性质”定义可知
x+2−b
k=
x−b−2k
k,对(x∈R)恒成立.
∴k=-1,b∈R,即所求一次函数f(x)=-x+b(b∈R).
(3)设a>0,x0>0,且点(x0,y0)在y=f(ax)图象上,则(y0,x0)在函数y=f-1(ax)图象上,
故
f(ax0)=y0
f−1(ay0)=x0,可得 ay0=f(x0)=af(ax0),
令 ax0=x,则a=
x
x0,∴f(x0)=
x−1(x>1),
∴g−1(x+1)=
x(x>0),
而g(x+1)=(x+1)2+1(x>-1),其反函数为y=
x−1−1(x>1),
故函数g(x)=x2+1(x>0)不满足“1和性质”.
(2)设函数f(x)=kx+b(x∈R)满足“2和性质”,k≠0.
∴f−1(x)=
x−b
k(x∈R),∴f−1(x+2)=
x+2−b
k,
而 f(x+2)=k(x+2)+b(x∈R),得反函数 y=
x−b−2k
k,
由“2和性质”定义可知
x+2−b
k=
x−b−2k
k,对(x∈R)恒成立.
∴k=-1,b∈R,即所求一次函数f(x)=-x+b(b∈R).
(3)设a>0,x0>0,且点(x0,y0)在y=f(ax)图象上,则(y0,x0)在函数y=f-1(ax)图象上,
故
f(ax0)=y0
f−1(ay0)=x0,可得 ay0=f(x0)=af(ax0),
令 ax0=x,则a=
x
x0,∴f(x0)=
(2009•上海)已知函数y=f(x)的反函数.定义:若对给定的实数a(a≠0),函数y=f(x+a)与y=f-1(x+
设函数f(x)=a^x+3a(a>0且a≠1)的反函数为y=f^-1(x),已知函数y=g(x)的图像与函数y=f^-1
若函数y=f(x),如果存在给定的实数对(a,b),使得f(a+x)•f(a-x)=b恒成立,则称y=f(x)为“Ω函数
已知函数y=f(x)对一切实数都有f(x+y)=f(x)+f(y) 1.求f(-x)+f(x)的值 2.若f(-3)=a
已知函数f(x)对任意实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)成立.求f(0)与f(1)的值
已知函数f(x)=log a^x+b(a大于0,a不等于1),对定义域内的任意x,y都满足f(x/y)=f(x)-f(y
.已知函数y=f(x)与y=e^x互为反函数函数y=g(x)的图像与y=f(x)图像关于x轴对称若g(a)=1则实数a值
已知函数f(x)是定义在R上的减函数,且对任意实数x,y都满足f(x+y)=f(x)+f(y),f(1)=1.若f(X)
函数f(x)=a x 反函数为:y=log a x,∴f
y=f(x)是函数y=a^x (a>0切不等于1)的反函数,图像过(根号a,a).则f(x)解析式?
已知函数y=f(x)的反函数为y=f^-1(x),又方程f(x)+x-2=0与f^-1(x)+x-2=0的实数解分别为a
函数f(x)=a^x+3a(a>0,a≠1)的反函数是y=f-1(x)