大师作文网关于最值的一道高一函数题
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/11 01:32:49
关于最值的一道高一函数题
如图所示,一座小岛距离海岸线上最近的点P的距离是3km,从点P沿海岸正东12km处有一个城镇,假设一个人驾驶的小船的平均速度是3km/h,步行的平均速度是6km/h,x（单位：km）表示此人将船停在海岸处距点P的距离,t（单位：h）表示他从小到到城镇的时间.
问：将船停在海岸的什么地方时此人从小岛到城镇的时间最少?
算出来貌似是x=3/2,但是解析式化简不了,求教
如图所示,一座小岛距离海岸线上最近的点P的距离是3km,从点P沿海岸正东12km处有一个城镇,假设一个人驾驶的小船的平均速度是3km/h,步行的平均速度是6km/h,x（单位：km）表示此人将船停在海岸处距点P的距离,t（单位：h）表示他从小到到城镇的时间.
问：将船停在海岸的什么地方时此人从小岛到城镇的时间最少?
算出来貌似是x=3/2,但是解析式化简不了,求教
t=√（x²+3²）/3+[（12-x）/6]
＝〔2√（x²+9）－x）/6＋2
令y＝2√（x²+3²）－x
即y＋x＝2√（x²+9）
等价于(y+x)²=4(x²+9）（这里x,y均是正数）
即3x²-2yx+36-y²=0①
这是一个关于x的一元二次方程,它是需要有解的
故△＝4y²-4·3·（36－y²）≥0
解得y²≥27
故y的最小值是3√3
此时方程①有两个相等的根x0,
由两根相等且根之积为36-y²/3=（36-27）/3=3
得x＝√3
如果学了导数,还要会求复合函数的导数,显然高一还没有学
另外本题也可以用三角换元的方法,令x＝3tanα
也就是说,本题除了用长度作自变量以外,还可以用角度,然后转换为三角函数的最值,这个最值需要利用数形结合的方法来求.
＝〔2√（x²+9）－x）/6＋2
令y＝2√（x²+3²）－x
即y＋x＝2√（x²+9）
等价于(y+x)²=4(x²+9）（这里x,y均是正数）
即3x²-2yx+36-y²=0①
这是一个关于x的一元二次方程,它是需要有解的
故△＝4y²-4·3·（36－y²）≥0
解得y²≥27
故y的最小值是3√3
此时方程①有两个相等的根x0,
由两根相等且根之积为36-y²/3=（36-27）/3=3
得x＝√3
如果学了导数,还要会求复合函数的导数,显然高一还没有学
另外本题也可以用三角换元的方法,令x＝3tanα
也就是说,本题除了用长度作自变量以外,还可以用角度,然后转换为三角函数的最值,这个最值需要利用数形结合的方法来求.