大师作文网讨论级数∞n＝1(−1)
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/16 16:18:16
讨论级数
(−1)
| ∞ |
 |
| n＝1 |
因为级数
∞
n＝1(−1)nln
n+1
n为交错级数，un＝ln
n+1
n．
由于，un+1−un＝ln
n+2
n+1−ln
n+1
n＝ln
(n+2)n
(n+1)2＝ln
n2+2n
n2+2n+1＜0
所以数列{un}单调减少而且
lim
n→∞un＝
lim
n→∞ln
n+1
n＝0．
因此由Leibniz判别法知，级数
∞
n＝1(−1)nln
n+1
n收敛．
讨论级数
∞
n＝1|(−1)nln
n+1
n|＝
∞
n＝1ln
n+1
n．其前n项部分和为：
sn＝
n
k＝1ln
k+1
k=（ln2-ln1）+（ln3-ln2）+（ln4-ln3）+…+[ln（n+1）-lnn]=ln（n+1）→∞（n→∞）
所以，级数
∞
n＝1|(−1)nln
n+1
n|＝
∞
n＝1ln
n+1
n发散．
综上所述知，级数
∞
n＝1(−1)nln
n+1
n条件收敛．
∞
n＝1(−1)nln
n+1
n为交错级数，un＝ln
n+1
n．
由于，un+1−un＝ln
n+2
n+1−ln
n+1
n＝ln
(n+2)n
(n+1)2＝ln
n2+2n
n2+2n+1＜0
所以数列{un}单调减少而且
lim
n→∞un＝
lim
n→∞ln
n+1
n＝0．
因此由Leibniz判别法知，级数
∞
n＝1(−1)nln
n+1
n收敛．
讨论级数
∞
n＝1|(−1)nln
n+1
n|＝
∞
n＝1ln
n+1
n．其前n项部分和为：
sn＝
n
k＝1ln
k+1
k=（ln2-ln1）+（ln3-ln2）+（ln4-ln3）+…+[ln（n+1）-lnn]=ln（n+1）→∞（n→∞）
所以，级数
∞
n＝1|(−1)nln
n+1
n|＝
∞
n＝1ln
n+1
n发散．
综上所述知，级数
∞
n＝1(−1)nln
n+1
n条件收敛．
讨论级数∞n＝1(−1)
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