已知圆C1的方程为x²+y²=36,线段PQ的端点P的坐标为P(2,-4),端点Q在圆C1上运动,线

来源：学生作业帮编辑：大师作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/06 20:42:02

已知圆C1的方程为x²+y²=36,线段PQ的端点P的坐标为P(2,-4),端点Q在圆C1上运动,线段PQ的中点为M.
（1）求动点M的轨迹C2的方程.
（2）对于（1）中的曲线C2,是否存在斜率为1的直线l,使以l被曲线C2截得的弦AB为直径的圆过原点?若存在,求出直线的方程,若不存在,说明理由.

1、
设M(x,y),P(2,-4),
M是PQ的中点,则：Q(2x-2,2y+4)
点Q在圆C1上,所以：(2x-2)²+(2y+4)²=36
整理得：(x-1)²+(y+2)²=9
这就是点M的轨迹C2的方程了.
2、
假设存在,设l的方程为：y=x+b,
设AB中点为N,曲线C2的圆心为C2(1,-2),半径R²=9
则C2N垂直平分AB
则K(C2N)=-1,所以,C2N的方程为：y+2=-(x-1),即：y=-x-1
N是直线C2N与直线l的交点,y=-x-1,y=x+b
得：x=-(b+1)/2,y=(b-1)/2
即点N（-(b+1)/2,(b-1)/2）
N就是以AB为直径的圆的圆心,半径为AN
AN²=R²-C2N²=9-[(b+3)²/4+(b+3)²/4]=9-(b+3)²/2
所以,以AB为直径的圆的方程为：
[x+(b+1)/2]²+[y-(b-1)/2]²=9-(b+3)²/2
过原点,把(0,0)代入得：
(b+1)²/4+(b-1)²/4=9-(b+3)²/2
(b+1)²+(b-1)²=36-2(b+3)²
2b²+2=36-2b²-12b-18
4b²+12b-16=0
b²+3b-4=0
(b+4)(b-1)=0
b1=-4,b2=1
所以,存在直线l：y=x-4或y=x+1