设AB是过抛物线y^2=2px焦点F的任一弦,求证：绝对值AB大于等于2p

来源：学生作业帮编辑：大师作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/12 22:11:21

设抛物线方程为：
y^2 = 2px ………………（1）
其中p>0
则焦点坐标为：
F=(p/2,0)

如图：过焦点做不垂直于x轴的直线AB,设其斜率为k（k不为0,否则直线与抛物线只有1个交点）
则：直线AB的方程为：
y = k(x-p/2) ………………（2）
根据抛物线性质,其通经长度为2p.
现在我们证明,对于任何的斜率k,AB的长度都比2p大.
根据抛物线性质（抛物线上的任1点到焦点F的距离与到准线CD的距离相等）,显然AB的距离为：
|AB| = |AF| + |BF| = |AC| + |BD|
= (p/2 + x1) + (p/2 + x2)
= p + (x1 + x2)
其中x1,x2分别为A、B两点的横坐标.
联合（1）（2）两个式子,得：
[ k(x-p/2) ]^2 = 2px
(kx)^2 - (k^2+2)px + (kp/2)^2 = 0
则：
x1 + x2 = (k^2+2)p / k^2 = p + 2p/k^2 > p
所以：
|AB| = p + (x1 + x2) > 2p
可见,只要AB不垂直于x轴,其长度就大于通经2p,即通径为抛物线中过焦点最短的弦.
证毕.

设AB是过抛物线y^2=2px焦点F的任一弦,求证：绝对值AB大于等于2p 已知抛物线y^2=2px（p＞0）过焦点F的任一条弦AB,设A(x1,y1),B（x2,y2）且y1＞0,y2＜0 （2010•徐汇区一模）已知抛物线y2=2px（p＞0）过焦点F的任一条弦AB，设A（x1，y1），B（x2，y2）且y 抛物线问题AB为过抛物线y^2=2px(p>0)焦点F的弦,M为AB中点,l是抛物线的准线 ,MN⊥l ,N为垂足,求证已知AB是抛物线y^2=2px(p>0)的任意一条过焦点的弦,若弦AB被焦点F分成长为m,n的两部分,求证：1/m+1/ 设抛物线y^2=2px(p>0),(1)求证.过焦点F倾斜角为a的弦长为2p/sin^2a.(2) 如果他的动弦AB长为设F是抛物线y^2=2px(p大于0）的焦点,直线l过F与抛物线交于A,B两点,准线l'与x轴交于点K.求证角AKF=角过抛物线y^2=2px的焦点F的弦AB,|FA|分之一加|FB|等于P分之2 抛物线,通径的证明的已知抛物线y^2=2px(p>0),F为焦点1求证:过点F的所有弦中,最短的是通径2若弦AB过点(2 已知AB是抛物线y^2=2px(p>0)的焦点弦,为抛物线焦点,点A(X1,Y1),B(X2,Y2).求证： AB是过抛物线Y2=2PX(P,0)焦点F的弦,M是AB的中点,l是抛物线的准线, 抛物线y^2=2px(p>0),设AB为焦点弦,M为准线与x轴的交点,F为焦点,求证∠AMF=∠BMF.