已知一元二次方程a（b-c）x∧2+b(c-a)x+c(a-b)=0 有两个相等的根,求证 1/a,1/b,1/c成等差

来源：学生作业帮编辑：大师作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/07 08:44:09

已知一元二次方程a（b-c）x∧2+b(c-a)x+c(a-b)=0 有两个相等的根,求证 1/a,1/b,1/c成等差数列
“∧”为二次方

a(b-c)x^2+b(c-a)x+c(a-b)=0 有两个相等的“实根”,则首项系数不为0（a≠0,b≠c）,且则判别式Δ=0,
即b^2*(c-a)^2-4*a(b-c)*c(a-b)=0,
b^2*(c-a)^2-4*a(b-c)*c(a-b)=b^2*(c-a)^2+4*ac(b-c)(b-a)=b^2*(c-a)^2+4*ac(b^2-(a+c)*b+ac)
=b^2*[(c-a)^2+4*ac]-4*ac*(a+c)*b+4*a^2*c^2=b^2*(c+a)^2-4*ac*(a+c)*b+4*a^2*c^2
=[b*(c+a)-2ac]^2,
因为Δ=0,所以[b*(c+a)-2ac]^2=0,b*(c+a)-2ac=0,
b*(c+a)=2ac,…………………………①
因为a≠0,若b=0,则c=0,导致b=c,这与b≠c矛盾,所以b≠0.
同理c≠0.
①式两边同时除以abc得,1/a+1/c=2/b.
证毕.