【高二数学学习疑问】数列算不算函数？如果算的话，该怎样理解？请用最通俗的语言解答！！！

【高二数学学习疑问】数列算不算函数？如果算的话，该怎样理解？请用最通俗的语言解答！！！
数学学习疑问：数列

解题思路： 数列 与函数
解题过程：
数列是特殊的函数
数列在中学数学教材中，许多章节的内容都与它有着密切的联系，处于数学知识的汇合处，因此，《数列》一节蕴含着丰富的数学思想，方程与函数、分类讨论、化归和转化、数形结合等中学数学常用的思想方法在教材中都得到了充分的展现和应用，而《数列》学习，尤其要重视函数思想的应用，因为数列是特殊的函数。
1、教材顺序的几番调整体现了编者的良苦用心
2003年全国中小学教材审定委员会通过的全日制普通高级中学教科书《数学》将原来使用的教材中的内容作了一个最大的调整，将数列与数学归纳法、数列极限分开，并从原来的高二提前到高一（上）来学习，属于必修内容，而将数学归纳法、极限一起列入高三限定的选修课内容。如此安排，一方面体现数列是特殊的函数，使学生了解不仅可以有自变量连续变化的函数，还可以有自变量离散变化的函数，丰富了学生所接触的函数概念的范围，加深和巩固对函数概念的全面理解；另一方面，又可以从函数的观点出发，主动地、直观地研究数列的一些问题，以便对数列性质的认识更深入一步，更实质一些。
而在刚刚起步的普通高中数学课程标准中，又将数列调整在必修课程模块5中，但“对数学有兴趣，并且希望获得较高数学素养，希望在理工等方面发展的学生”，在选修系列4-3中，安排了“数列与差分”。教材顺序的反复调整固然反映了编者矛盾的心理，但从中分明透露出其良苦用心①体现数列是特殊的函数；②“函数思想将贯穿高中数学课程的始终”，通过循环往复，以期达到对函数概念理解的螺旋式提高。
2、要用函数的观点认识数列
2.1强化数列定义中的函数观点
教材在给出数列的概念时，先给出一个描述性的定义，在此基础上又给出一个在函数观点下的定义：“从函数的观点看，数列可看作是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集｛1,2，…n｝)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值”，这样就明确地将数列与函数联系在了一起。请注意，加点部分是传统教材中所没有的，这种强调作用是显而易见的。另外，关于数列的通项公式，教材也明确地提出：“数列的通项公式也就是相应函数的解析式”。
这少许的精辟之言，就为函数思想在本章的运用埋下了理论上的伏笔。
既然教材在章节顺序和内容体系上都作了明确的说明，那么我们在数列的学习中，就应充分注意用函数的思想学习来理解数列中的有关问题。
例1　当n∈N且n≥2时，求证：

分析：本题若用数学归纳法进行证明，不仅步骤繁难，凑配结合，还要证明　（k≥2且k∈N），可谓题中套题，而如果注意到数列的函数性，则有异曲同工，曲径通幽之妙。
略解：设f(n)=
f(n+1)-f(n)=
∴f(n+1)>f(n)，故{f(n) }是递增数列
∴当n∈N且n≥2时，有f(n) ≥f(2)=
例2(2004年上海春季高考题)已知函数f(x)=|x-a|,g(x)=x²+2ax+1(a为正常数)，且函数f(x)与g(x)图象在y轴上截距相等。①求a；②求f(x)+g(x)的单调递增区间；③若n为正整数，证明10^f(n)·
解：①a=1 ②略 对于③，给出两种解法，供比较：
解法一(略解)：设C_n=10^f(n) · =10^n-1·( )^n2+2n+1
解不等式C_n+1<C_n,化为10·()²ⁿ⁺³<1,解得n> ∴n≥4
于是c₁≤c₂≤c₃≤c₄,而c₄>c₅>……，所以有
10^f(n)·( )^g(n) ≤10^f(4) ·( )^g(4)=10³·( )²⁵≈3.78＜4
解法二(略解)设作辅助函数h（x）=10^x-1( )^x2+2x+1 (x≥1)
h′（x）=10^x-1( )^x2+2x+1 ·[ln10+1n·（2x+2）]
解h′（x）＞0，得x<-1≈4.16
∴函数h（x）在［1,4.16)上递增，在（4.16，＋∞）上递减。
对n∈N+，h(n)=
又∵h(4)=3.78 h(5)=3.25
∴h(m)nx=h(4)<4
即10f(n)·（）^g(n)<4
评析：解法二借助于函数的单调性的判断结果，借力发功，巧妙地解决了数列的最大值，解题思路清晰简单，数列与函数较好地统一于一体.
2.2注意等差数列与一次、二次函数的联系。
由于等差数列的通项公式a_n=a₁+(n-1)d,可以变形为a_n=d.n＋（a₁-d）,从变形式中可以看出：当d≠0时，等差数列是关于n的一次函数，所以等差数列的通项a_n的图象是均匀地分布在一条直线上的各点，根据两点确定一条直线，也就很容易理解为什么已知等差数列的任意两项，可确定一个等差数列了。
同样道理，等差数列前n项和公式S_n＝na₁+，可以变形为S_n=当d≠0时，S_n是关于n的常数项为0的二次函数,于是可以利用二次函数的观点和方法解决“求等差数列前n项的和”的有关问题，特别是求S_n的增减变化，最大（小）值问题时，更要联想到S_n的二次函数性。
例3.一个首项为正数的等差数列，前5项之和与前13项之和相等，那么这个数列的前多少项之和最大？
解法一（略解）S₅=S₁₃ ∴d=-　
∴8.5≤n≤9.5 ∴s₉最大。
解法二（略解）∵S₅=S₁₃　∴
∴4（a₉+a₁₀）=0 ∴a₉+a₁₀=0 ∴a₉<0,a₁₀>0 ∴s₉最大
解法三（略解）∵S₅=S₁₃　∴d=-　∴S_n=na₁+ ∴s₉最大
解法四：（略解）∵S_n= ∴S_n是关于n的二次函数，且开口向下，又∵S₅=S₁₃　　S_n的对称轴是n=
∴S₉最大
评析：解法一虽然常规但运算量大，解法二技巧性强，解法三与解法四运用了函数的知识，思路清晰且运算量较少，尤其是解法四，正展示了函数思想的巨大魅力。
2.3注意等比数列与指数型函数的联系。
在等比数列中，通项公式a_n=a₁q^n-1=(a₁≠0，q≠0),当q＞0，q≠1时，a_n是关于n的指数函数与非零常数的乘积；其前n项和S_n＝当q>0且q≠1时，S_n是关于n的y=m·qⁿ-m型的函数，因此，在解决等比数列的有关问题时，应注意结合指数函数的有关性质。
例4首项为正数的等比数列｛a_n｝的前n项和为80，前2n项和为6560,且在前n项中数值最大的项是54，求此数列的首项a₁和公比q。
分析：∵2S_n≠S_2n, ∴q≠-1，由S_2n÷S_n＝82 ,∴qⁿ=81代入S_n=80可得a₁=q-1>0 ∴q>1, ∴a_n=关于n单调递增， a_n=54,再结合S_n=80，便求出a₁与q。
评析：这里确定a_n＝54是关键，借助指数函数的单调性，难点轻而易举地得以突破。
3、数列是特殊的函数
前面我们阐述了数列与函数的联系，看到了二者高度的统一性，体验了函数的思想在数列学习中的重要性与指导性。但数列毕竟是特殊的函数，不能把数列问题完全函数化，二者还是有区别的，先看一个简单的例题：
例5已知｛a_n｝是递增数列，且对任意的n∈N⁺，都有a_n=n²+λn恒成立，求实数λ的取值范围。
为了更清楚地说明数列问题与函数问题的区别，下面我们再详细分析一个例题：
错解：设辅助函数f(x)=x²+λx
∵{an}是递增函数
∴f(x)=x²+λx在［1，∞）上是单调递增函数
∴对称轴x=-≤-1 ∴λ≥-2
分析：数列{a_n}对n∈N⁺单调递增，并不等价于函数f(x)在［1，∞）上单调递增，an=n²+λn²关于n的图象是位于曲线f(x)=x²+λx上的一系列离散的点，只要保证-<即λ>-3，就能得到a₁<a₂<a₃<……，而不是-≤1。
正解：∵数列{ a_n }是单调递增数列
∴a_n < a_n+1对n∈N₊ 恒成立
即n²+λn<(n+1)2+λ(n+1)对n∈N₊恒成立
∴λ>-(2n+1)对n∈N₊ 恒成立
而-(2n+1)_max=-3 ∴λ>-3
由此可见，将数列问题简单地函数化，极易出现不和谐的音符，在涉及数列单调性问题时，我们首先要选用数列单调性自身的性质解题，以免出现错误。
为了更清楚地说明数列与函数的区别，下面我们再详细分析一个例题：
例6：已知数列{ a_n }的通项为a_n=n·aⁿ(0<a<1),若a_n>a_n+1对所有正整数n均成立，求a的取值范围。
错解：作辅助函数f(x)=x·a^x(0<a<1)
a_n>a_n+1( n∈N₊)恒成立 函数f(x)=x·a^x在［1，∞）上为减函数
f`(x)=≤0在( n∈N<sub>+</sub>)恒成立
∵f`(x)= a^x(1+xma)
∴f`(x) ≤0在( n∈N<sub>+</sub>)恒成立,即1+ xma≤0在( n∈N<sub>+</sub>)恒成立,
∴ma≤-在( n∈N<sub>+</sub>)恒成立,
∵(-)min=-1 ∴ma≤-1 ∴0<a≤
正解：a<sub>n</sub>>a<sub>n+1</sub>(0<a<1)对( n∈N<sub>+</sub>)恒成立 n·a<sub>n</sub>>(n+1)a<sup>n+1</sup>对n∈N<sub>+</sub>)恒成立
Aa<对n∈N<sub>+</sub>)恒成立
∵∈[,1)
∴0<a<
评析：两种解法的结果相距甚远。但同样的思路，例2却殊途同归，实事上，在例2中已出现了不和谐的“音符”，解法一中n>3.7，解法二中n<4.16，只是由于n∈N<sup>+</sup>,将二者统一于n=4,但解题过程并未能掩饰住其取具体值时两者的差异。本例中，f(x)在［1，∞）上为减函数只是a<sub>n</sub>>a<sub>n+1</sub> ( n∈N<sub>+</sub>)恒成立的充分不必要条件，并不是等价条件，让我们详细分析：
先求f(x)的极大值点，令f`(x)=0得x=-
当x∈=(-∞,-)时，f`(x)>0 当x∈=(-,+∞)时，f`(x)<0
∴x=-是函数f(x)的极大值点，也是最大值点。
下面考察a∈(,)时的情况
当a∈(,)时 x=-∈[1,2) ∵x=-是函数f(x)的最大值点,
∴函数f(x)在区间[1,-)上为增函数,在[-,+∞)为减函数,
没有做到f(x)在[1,+∞)上是减函数,但f(1)=a f(2)=2a² 由于a∈(,),所以仍有a₁>a₂。
学习数列，不能离开函数思想方法的指导，因为数列是特殊的函数；但在数列的学习中，也不能将自变量离散变化的数列完全等同于自变量连续变化的函数，毕竟，数列是特殊的函数。