大师作文网求微分方程特解
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/18 05:03:26
求微分方程特解
方法一：因为1+i不是齐次线性方程的特征方程的根,所以设非齐次线性方程的特解y*=e^x(Acosx+Bsinx),代入得
(-A-2B)cosx+(2A-B)sinx=cosx
所以,-A-2B=1,2A-B=0,得A=-1/5,B=-2/5.
所以y*=-1/5e^x(cosx+2sinx).
方法二：e^xcosx是e^((1+i)x)的实部,所以先求y''-4y'+3y=e^((1+i)x))的特解,设为Y*=Ae^((1+i)x),代入得(-1-2i)A=1,所以A=-1/5+2i/5.
所以Y*=(-1/5+2i/5)e^((1+i)x)=(-1/5+2i/5)e^x(cosx+isinx),其实部是-1/5e^xcosx-2/5e^xsinx.
所以y''-4y'+3y=e^xcosx的一个特解y*＝-1/5e^xcosx-2/5e^xsinx.
再问： 方法一中(-A-2B)cosX+(2A-B)sinx=cosx这步怎么来的？
再问： 方法一中(-A-2B)cosX+(2A-B)sinx=cosx这步怎么来的？
再问： 方法一中(-A-2B)cosX+(2A-B)sinx=cosx这步怎么来的？
再答： 当然是求导算出来的，求导的过程可省略，只把整理后的结果写在解题过程里面即可。而这个求导的过程正是这种方法的最麻烦之处
(-A-2B)cosx+(2A-B)sinx=cosx
所以,-A-2B=1,2A-B=0,得A=-1/5,B=-2/5.
所以y*=-1/5e^x(cosx+2sinx).
方法二：e^xcosx是e^((1+i)x)的实部,所以先求y''-4y'+3y=e^((1+i)x))的特解,设为Y*=Ae^((1+i)x),代入得(-1-2i)A=1,所以A=-1/5+2i/5.
所以Y*=(-1/5+2i/5)e^((1+i)x)=(-1/5+2i/5)e^x(cosx+isinx),其实部是-1/5e^xcosx-2/5e^xsinx.
所以y''-4y'+3y=e^xcosx的一个特解y*＝-1/5e^xcosx-2/5e^xsinx.
再问： 方法一中(-A-2B)cosX+(2A-B)sinx=cosx这步怎么来的？
再问： 方法一中(-A-2B)cosX+(2A-B)sinx=cosx这步怎么来的？
再问： 方法一中(-A-2B)cosX+(2A-B)sinx=cosx这步怎么来的？
再答： 当然是求导算出来的，求导的过程可省略，只把整理后的结果写在解题过程里面即可。而这个求导的过程正是这种方法的最麻烦之处