大师作文网一道关于函数连续性的证明题
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/10 01:18:13
一道关于函数连续性的证明题
设y=f(x)在开区间I=（a,b）上连续并严格单调,证明：y=f(x)的值域f(I)也是一个开区间.
设y=f(x)在开区间I=（a,b）上连续并严格单调,证明：y=f(x)的值域f(I)也是一个开区间.
令s=lim f(x),t=lim f(x)用介值定理往证 f(I)=(s,t)里有可能s,t是“无限数”的情况.
不用谢!
再问： 你上面说的我自己也想到了，但是请问用介值定理怎么证明？
再答： 不妨设f是单增的。 则lim f(x) 要么收敛，要么趋于-∞。这里先对收敛的情况讨论令s=lim f(x) 同理 t=lim f(x) 要么收敛，要么趋于+∞.同样对 对收敛的情况讨论令t=lim f(x) 我来证 f(I)=(s,t) 取c∈f(I),即 存在 x∈(a,b),c=f(x)，由单调性，必有 s
不用谢!
再问： 你上面说的我自己也想到了，但是请问用介值定理怎么证明？
再答： 不妨设f是单增的。 则lim f(x) 要么收敛，要么趋于-∞。这里先对收敛的情况讨论令s=lim f(x) 同理 t=lim f(x) 要么收敛，要么趋于+∞.同样对 对收敛的情况讨论令t=lim f(x) 我来证 f(I)=(s,t) 取c∈f(I),即 存在 x∈(a,b),c=f(x)，由单调性，必有 s