设x1,x2是方程x2-2ax+a+6=0的两个实根,求(x1-1)2+(x2-1)2的最小值.
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/20 23:18:58
设x1,x2是方程x2-2ax+a+6=0的两个实根,求(x1-1)2+(x2-1)2的最小值.
根据题意得△=4a2-4(a+6)≥0,即a2-a-6≥0,
∴(a-3)(a+2)≥0,
∴a≥3或a≤-2,
∵x1+x2=2a,x1•x2=a+6,
∴(x1-1)2+(x2-1)2=x12+x22-2(x1+x2)+2
=(x1+x2)2-2x1•x2-2(x1+x2)+2
=4a2-2(a+6)-4a+2
=4a2-6a-10
=4(a-
3
4)2-
49
4,
当a=3时,(x1-1)2+(x2-1)2=4×(3-
3
4)2-
49
4=8,
当a=-2时,(x1-1)2+(x2-1)2=4×(-2-
3
4)2-
49
4=18,
∴(x1-1)2+(x2-1)2的最小值为8.
∴(a-3)(a+2)≥0,
∴a≥3或a≤-2,
∵x1+x2=2a,x1•x2=a+6,
∴(x1-1)2+(x2-1)2=x12+x22-2(x1+x2)+2
=(x1+x2)2-2x1•x2-2(x1+x2)+2
=4a2-2(a+6)-4a+2
=4a2-6a-10
=4(a-
3
4)2-
49
4,
当a=3时,(x1-1)2+(x2-1)2=4×(3-
3
4)2-
49
4=8,
当a=-2时,(x1-1)2+(x2-1)2=4×(-2-
3
4)2-
49
4=18,
∴(x1-1)2+(x2-1)2的最小值为8.
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