求二元函数f(x,y)=x2(2+y2)+ylny的极值.
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/22 01:11:52
求二元函数f(x,y)=x2(2+y2)+ylny的极值.
(1)由一阶导数=0联立,求解函数的所有驻点.
由 fx′(x,y)=2x(2+y2)=0,fy′(x,y)=2x2y+lny+1=0,可得
x=0,y=
1
e.
(2)利用二元函数极值的判断定理,判断点 (0,
1
e) 是否为极值点.
由于 f″xx=2(2+y2),f″yy=2x2+
1
y,f″xy=4xy,
将 x=0,y=
1
e 带入可得,
f″xx|(0,
1
e)=2(2+
1
e2)
f″xy|(0,
1
e)=0
f″yy|(0,
1
e)=e
因为 f″xx>0 而(f″xy)2−f″xxf″yy<0,故点 (0,
1
e) 为函数的极小值点.
从而,二元函数存在极小值f(0,
1
e)=−
1
e
由 fx′(x,y)=2x(2+y2)=0,fy′(x,y)=2x2y+lny+1=0,可得
x=0,y=
1
e.
(2)利用二元函数极值的判断定理,判断点 (0,
1
e) 是否为极值点.
由于 f″xx=2(2+y2),f″yy=2x2+
1
y,f″xy=4xy,
将 x=0,y=
1
e 带入可得,
f″xx|(0,
1
e)=2(2+
1
e2)
f″xy|(0,
1
e)=0
f″yy|(0,
1
e)=e
因为 f″xx>0 而(f″xy)2−f″xxf″yy<0,故点 (0,
1
e) 为函数的极小值点.
从而,二元函数存在极小值f(0,
1
e)=−
1
e
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