在空间四边形ABCD中AB=CD=8,M,N分别是BC,AD的中点,若异面直线AB与CD所成的角为60度,求MN的长.

来源：学生作业帮编辑：大师作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/12 04:04:18

在空间四边形ABCD中AB=CD=8,M,N分别是BC,AD的中点,若异面直线AB与CD所成的角为60度,求MN的长.
作辅助线：
过点N作NP//AB交BC于点P,连结PM.
因为M,N分别为BD,AC的中点,
所以PN=1/2*AB=4,PM=1/2*CD=4,又异面直线AB,CD成60度的角,所以角NPM=60度或120度,所以MN=4 或4根号3.

我认为你过点N作NP//AB交BC于点P,连结PM.这个好象不成立,因为AD和BC也是异面直线,不一定平行线相交.
过A点做AE‖DC,且AE=DC.连接BE,CE
因为AB与CD夹角为60度
所以∠EAB=60度
又 AE=CE=AB
所以△AEB为正三角形
所以BE=AB=AE=8
过N点做NP‖CD交CE于点P,N为AD中点,所以P为CE中点.连接PM
因为P,M分别为CE,BC的中点
所以PM=BE/2=4
又因为NP‖CD,PM‖BE
所以∠NPM=∠AEB=60度,
同理取BE中点Q.连接AQ,MQ可知
MQ‖CE‖DA,且MQ=CE/2=AD/2=NA
所以四边形NAMQ是平行四边形,所以MN=AQ,与上同理可证
∠EAQ=30度=∠PNM=30度
所以在△NPM中
∠NPM=60度
∠PNM=30度
所以△NPM是直角三角形
所以可得MN=√8^2-4^2)=4√3
★注：上面做的有点麻烦了,可以根据△AEB是正三角形,边长为8,四边形ANMQ是平行四边形,直接求出MN 为正三角形△AEB的高
即√(8^2-4^2)=4√3.