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自圆x2+y2=4上的点A(2,0)引此圆的弦AB,求弦AB的中点M的轨迹方程.要三种不同解法,且不能用参数与导数

来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/11/17 10:07:47
自圆x2+y2=4上的点A(2,0)引此圆的弦AB,求弦AB的中点M的轨迹方程.要三种不同解法,且不能用参数与导数
自圆x2+y2=4上的点A(2,0)引此圆的弦AB,求弦AB的中点M的轨迹方程.要三种不同解法,且不能用参数与导数
方法一:定义法
连接OM ,则 OM丄AB ,因此M的轨迹是以OA为直径的圆(不包括点A),
由于OA中点为(1,0),所以所求方程为 (x-1)^2+y^2=1 (x≠2) .
方法二:代入法
设B(x1,y1),M(x,y),(x1≠2)
因为 M 是AB的中点,所以 x=(x1+2)/2 ,y=y1/2 ,
因此解得 x1=2x-2 ,y1=2y ,
代入圆的方程得 (2x-2)^2+(2y)^2=4 ,化简得 (x-1)^2+y^2=1 (x≠2) .
方法三:直接法
设 M(x,y),(x≠2)
由于 M 是AB中点,所以OM丄AB ,
由勾股定理,OM^2+MA^2=OA^2 ,
即 x^2+y^2+(x-2)^2+y^2=4 ,
化简得 (x-1)^2+y^2=1 (x≠2) .