老师，请问一下我们证明空间几何体是除了用坐标法解是不是还有几种方法。比如说投影面法等等，你能帮我分析一下这几种方法吗？谢

老师，请问一下我们证明空间几何体是除了用坐标法解是不是还有几种方法。比如说投影面法等等，你能帮我分析一下这几种方法吗？谢谢！
空间几何体证明的几种方法的分析

解题思路： 立体几何 。
解题过程：
立体几何问题的题型与方法 例1、⑴已知水平平面内的两条相交直线a, b所成的角为，如果将角的平分线绕着其顶点，在竖直平面内作上下转动， 转动到离开水平位值的处，且与两条直线a,b都成角，则与的大小关系是 （ ） A. 或 B. >或 < C. > D. < ⑵已知异面直线a,b所成的角为70,则过空间一定点O,与两条异面直线a,b都成60角的直线有 ( )条. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 ⑶异面直线a,b所成的角为,空间中有一定点O,过点O有3条直线与a,b所成角都是60,则的取值可能是 ( ). A. 30 B. 50 C. 60 D. 90 分析与解答: ⑴ 如图1所示,易知直线上点Ａ在平面上的射影是ι上的点B,过点B作BC⊥b, 则AC⊥b. 在Rt△OBC和Rt△OAC中，tg=,tg=.显然，AC>BC, ∴tan> tan,又、（0，，∴ ＞.故选C.　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑵如图2所示，过空间一点O分别作∥a,∥b, ι 则所求直线即为过点O且与都成60角的直线。 ∵=110，∴∴将两对对顶角的平分线绕　　　　　　　　　图１ O点分别在竖直平面内转动，总能得到与 都成 60角的直线。故 过点 O与a,b都成60角的直线有4条， 70.从而选 D. O ⑶过点O分别作∥a,∥b,则过点O有三条直线与 a,b所成角都为60，等价于过点O有三条直线与 图2 所成角都为60，如图3示，如果或 　　　　　　　　　　 则或，过 O点只有两条直线与 O 都成60角。如果=90，则，那么过点 O有四 　　　　　　　　　　　　　　　 条直线与所成角都为60。如果=60，则， 图 3 此时过点 O有三条直线与所成角都为60。其中一条 正是角的平分线. 说明： 本组新题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位直关系，考查空间想象和转化能力，以及周密的分析问题和解决问题 例2、如图1，设ABC-ABC是直三棱柱，F是AB的中点，且 (1)求证：AF⊥AC； (2)求二面角C-AF-B的大小． 分析：先来看第1问，我们“倒过来”分析．如果已经证得AF⊥AC，则注意到因为AB=2AA=2a，ABC-ABC是直三棱柱，从而若设E是AB的中点，就有AE⊥AF，即AF⊥平面ACE．那么，如果我们能够先证明AF⊥平面ACE，则就可以证得AF⊥AC，而这由CE⊥平面AABB立得． 再来看第2问．为计算二面角C-AF-B的大小，我们需要找到二面角C-AF-B的平面角．由前面的分析知，CE⊥平面AABB，而AF⊥AE，所以，若设G是AF与AE的中点，则∠CGE即为二面角C-AF-B的平面角，再计算△CGE各边的长度即可求出所求二面角的大小． 解：(1)如图2，设E是AB的中点，连接CE，EA．由ABC-ABC是直三棱柱，知AA⊥平面ABC，而CE平面ABC，所以CE⊥AA， ∵AB=2AA=2a，∴AA=a，AA⊥AE，知AAFE是正方形，从而AF⊥AE．而AE是AC在平面AAFE上的射影，故AF⊥AC； (2)设G是AB与A1E的中点，连接CG．因为CE⊥平面AABB，AF⊥AE，由三垂线定理，CG⊥AF，所以∠CGE就是二面角C-AF-B的平面角．∵AAFE是正方形，AA=a， ∴， ∴， ∴tan∠CGE=，∠CGE＝，从而二面角C-AF-B的大小为。 说明：假设欲证之结论成立，“倒着”分析的方法是非常有效的方法，往往能够帮助我们迅速地找到解题的思路．《直线、平面、简单几何体》关于平行与垂直的问题都可以使用这种分析方法．但需要注意的是，证明的过程必须是“正方向”的，防止在证明过程中用到欲证之结论，从而形成“循环论证”的逻辑错误． 例3、 一条长为2的线段夹在互相垂直的两个平面a、b之间，AB与a成45o角，与b成角，过A、B两点分别作两平面交线的垂线AC、BD，求平面ABD与平面ABC所成的二面角的大小． 以CD为轴，将平 以AB为轴，将平 面BCD旋转至与 面ABD旋转至与 平面ACD共面 平面ABC共面 图 1 图 2 图 3 解法１、过D点作DE⊥AB于E，过E作EF⊥AB交BC于F(图1)，连结DF，则∠DEF即为二面角D－AB－C的平面角． 为计算△DEF各边的长，我们不妨画出两个有关的移出图．在图2中，可计算得DE＝1，EF＝，BF＝＝．在移出图3中， ∵ cosB＝＝, 在△BDF中，由余弦定理： DF 2＝BD 2＋BF 2－2BD Z BF Z cosB ＝()2＋()2 －2Z Z Z ＝． （注：其实，由于AB⊥DE，AB⊥EF，∴ AB⊥平面DEF，∴ AB⊥DF． 又∵ AC⊥平面b，　∴　AC⊥DF． ∴　DF⊥平面ABC， ∴ DF⊥BC，即DF是Rt△BDC斜边BC上的高，于是由BC Z DF＝CD Z BD可直接求得DF的长．） 在△DEF中，由余弦定理： cos∠DEF＝＝＝. ∴ ∠DEF＝arccos.此即平面ABD与平面ABC所成的二面角的大小． 解法２、过D点作DE⊥AB于E，过C作CH⊥AB于H，则HE是二异面直线CH和DE的公垂线段，CD即二异面直线上两点C、D间的距离．运用异面直线上两点间的距离公式，得： CD 2＝DE 2＋CH 2＋EH 2－2DE Z CH Z cosq (*) （注：这里的q是平面ABD与平面ABC所成的二面角的大小，当0＜q o≤90o，q 亦即异面直线CH与DE所成的角；当90o＜q ＜180o，异面直线所成的角为180o－q .） ∵ CD＝DE＝1，CH＝，HE＝， 从而算得 cosq＝， ∴ q＝arccos. 说明：(1)解空间图形的计算问题，首先要解决定位问题（其中最基本的是确定点在直线、点在平面上的射影），其次才是定量问题．画空间图形的“平面移出图”是解决定位难的有效方法，必须熟练掌握． (2) 解法２具有普遍意义，特别是公式(*)，常可达到简化运算的目的． 例4、如图1，直三棱柱ABC－ABC的各条棱长都相等， D为棱BC上的一点，在截面ADC中，若∠ADC＝， 求二面角D－AC1－C的大小． 解：由已知，直三棱柱的侧面均为正方形， 图 7 ∵ ∠ADC1＝90o，即AD⊥C1D．又CC1⊥平面ABC， ∴ AD⊥CC1.　∴ AD⊥侧面BC1，∴ AD⊥BC， 图1 ∴ D为BC的中点． 过C作CE⊥C1D于E，∵ 平面ADC1⊥侧面BC1， ∴ CE⊥平面ADC1．取AC1的中点F，连结CF，则CF⊥AC1． 连结EF，则EF⊥AC1(三垂线定理) ∴ ∠EFC是二面角D－AC1－C的平面角． 在Rt△EFC中，sin∠EFC＝. ∵ BC＝CC1＝a 易求得 CE＝，CF＝. ∴ sin∠EFC＝， ∴ ∠EFC＝arcsin. ∴ 二面角D－AC1－C的大小为arcsin. 例5、已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点. （1）求证：MN⊥AB； （2）设平面PDC与平面ABCD所成的二面角为锐角θ，问能否确定θ使直线MN是异 面直线AB与PC的公垂线？若能，求出相应θ的值；若不能，说明理由. 解：（1）∵PA⊥矩形ABCD，BC⊥AB，∴PB⊥BC，PA⊥AC，即△PBC和△PAC都是 以PC为斜边的直角三角形，，又M为AB的中点， ∴MN⊥AB. （2）∵AD⊥CD，PD⊥CD.∴∠PDA为所求二面角的平面角，即∠PDA=θ. 设AB=a，PA=b，AD=d，则， 设PM=CM则由N为PC的中点， ∴MN⊥PC由（1）可知MN⊥AB，∴MN为 PC与AB的公垂线，这时PA=AD，∴θ=45°。 例6、 四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的正方形，PB⊥面ABCD. （1）若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°，求这个四棱锥的体积； （2）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90° 解:（1）正方形ABCD是四棱锥P—ABCD的底面, 其面积 为从而只要算出四棱锥的高就行了. 面ABCD, ∴BA是PA在面ABCD上的射影.又DA⊥AB， ∴PA⊥DA， ∴∠PAB是面PAD与面ABCD所成的二面角的平面角， ∠PAB=60°. 而PB是四棱锥P—ABCD的高，PB=AB·tan60°=a, . （2）不论棱锥的高怎样变化，棱锥侧面PAD与PCD恒为全等三角形. 作AE⊥DP，垂足为E，连结EC，则△ADE≌△CDE， 是面PAD与面PCD所成的二面角的平面角. 设AC与DB相交于点O，连结EO，则EO⊥AC， 在 故平面PAD与平面PCD所成的二面角恒大于90°. 说明：本小题主要考查线面关系和二面角的概念，以及空间想象能力和逻辑推理能力, 具有一定的探索性, 是一道设计新颖, 特征鲜明的好题. 例7、如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC为等腰直角三角形，∠ACB=900，AC=1，C点到AB1的距离为CE=，D为AB的中点. （1）求证：AB1⊥平面CED； （2）求异面直线AB1与CD之间的距离； （3）求二面角B1—AC—B的平面角. 解:（1）∵D是AB中点，△ABC为等腰直角三角形， ∠ABC=900，∴CD⊥AB又AA1⊥平面ABC，∴CD⊥AA1. ∴CD⊥平面A1B1BA ∴CD⊥AB1，又CE⊥AB1， ∴AB1⊥平面CDE； （2）由CD⊥平面A1B1BA ∴CD⊥DE ∵AB1⊥平面CDE ∴DE⊥AB1, ∴DE是异面直线AB1与CD的公垂线段 ∵CE=，AC=1 , ∴CD=∴； （3）连结B1C，易证B1C⊥AC，又BC⊥AC , ∴∠B1CB是二面角B1—AC—B的平面角. 在Rt△CEA中，CE=，BC=AC=1,∴∠B1AC=600 ∴， ∴, ∴ , ∴. 说明：作出公垂线段和二面角的平面角是正确解题的前提, 当然, 准确地作出应当有严格的逻辑推理作为基石. 例8、 如图，在三棱锥中，平面，，，D为BC的中点. （1）判断AD与SB能否垂直，并说明理由； （2）若三棱锥的体积为，且为 钝角，求二面角的平面角的正切值； （3）在（Ⅱ）的条件下，求点A到平面SBC的距离. 解：（1）因为SB在底面ABC上的射影AB与AD不垂直，否则与AB=AC且D为BC的中点矛盾，所以AD与SB不垂直； （2）设，则 解得 ，所以（舍），. 平面ABC，AB=AC，D为BC的中点 ， 则是二面角S—BC—A的平面角. 在中，, 故二面角的正切值为４； （3）由（2）知，平面SDA，所以平面SBC平面SDA，过点A作AESD，则AE平面SBC，于是点A到平面SBC的距离为AE, 从而即A到平面SBC的距离为. 例9、如图a—l—是120°的二面角，A，B两点在棱上，AB=2，D在内，三角形ABD是等腰直角三角形，∠DAB=90°，C在内，ABC是等腰直角三角形∠ACB= （I） 求三棱锥D—ABC的体积； （2）求二面角D—AC—B的大小； （3）求异面直线AB、CD所成的角. 解: (1) 过D向平面做垂线，垂足为O，连强OA并延长至E. 为二面角a—l—的平面角.. 是等腰直角三角形，斜边AB=2.又D到平面的距离DO= （2）过O在内作OM⊥AC,交AC的反向延长线于M,连结DM.则AC⊥DM.∴∠DMO 为二面角D—AC—B的平面角. 又在△DOA中，OA=2cos60°=1.且 （3）在平在内，过C作AB的平行线交AE于F，∠DCF为异面直线AB、CD所成的角. 为等腰直角三角形，又AF等于C到AB的距离，即△ABC斜边上的高, 异面直线AB,CD所成的角为arctan 例12、在直角梯形ABCD中，∠A=∠D=90°，AB＜CD，SD⊥平面ABCD，AB=AD=a，S D=，在线段SA上取一点E（不含端点）使EC=AC，截面CDE与SB交于点F。 （1）求证：四边形EFCD为直角梯形； （2）求二面角B-EF-C的平面角的正切值； （3）设SB的中点为M，当的值是多少时，能使△DMC 为直角三角形？请给出证明. 解：（1）∵　CD∥AB，AB平面SAB ∴CD∥平面SAB 面EFCD∩面SAB=EF， ∴CD∥EF ∵ 又面 ∴ 平面SAD，∴又 为直角梯形 （2）平面∥平面SAD 即为二面角D—EF—C的平面角 中 而且 为等腰三角形， (3)当时，为直角三角形 . , 平面平面. 在中，为SB中点，. 平面平面 为直角三角形。 例13、如图，几何体ABCDE中，△ABC是正三角形，EA和DC都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a， DC=a，F、G分别为EB和AB的中点. （1）求证：FD∥平面ABC； （2）求证：AF⊥BD； (3) 求二面角B—FC—G的正切值. 解: ∵F、G分别为EB、AB的中点， ∴FG=EA，又EA、DC都垂直于面ABC, FG=DC， ∴四边形FGCD为平行四边形，∴FD∥GC，又GC面ABC， ∴FD∥面ABC. （2）∵AB=EA，且F为EB中点，∴AF⊥EB ① 又FG∥EA，EA⊥面ABC ∴FG⊥面ABC ∵G为等边△ABC，AB边的中点，∴AG⊥GC. ∴AF⊥GC又FD∥GC，∴AF⊥FD ② 由①、②知AF⊥面EBD，又BD面EBD，∴AF⊥BD. （3）由（1）、（2）知FG⊥GB，GC⊥GB，∴GB⊥面GCF. 过G作GH⊥FC，垂足为H，连HB，∴HB⊥FC. ∴∠GHB为二面角B-FC-G的平面角. 易求. 例14、如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1， P、Q分别是线段AD1和BD上的点， 且D1P∶PA=DQ∶QB=5∶12. (1) 求证PQ∥平面CDDC； (2) 求证PQ⊥AD； (3) 求线段PQ的长. 解：（1）在平面AD内，作PP∥AD与DD交于点P，在平面AC内，作 QQ1∥BC交CD于点Q，连结PQ. ∵ , ∴PP1QQ . 由四边形PQQP为平行四边形, 知PQ∥PQ，而PQ平面CDDC， 所以PQ∥平面CDDC （2）AD⊥平面DDCC， ∴AD⊥PQ，又∵PQ∥PQ， ∴AD⊥PQ. （3）由（1）知PQ PQ, ，而棱长CD=1. ∴DQ=. 同理可求得 PD=. 在Rt△PDQ中，应用勾股定理, 立得PQ= . 七、强化训练 1．下列命题中错误的是 （ ） A．若一直线垂直于一平面，则此直线必垂直于这一平面内所有直线 B．若一平面经过另一平面的垂线，则两个平面互相垂直 C．若一条直线垂直于平面内的一条直线，则此直线垂直于这一平面 D．若平面内的一条直线和这一平面的一条斜线的射影垂直，则它也和这条斜线垂直 2．设α、β是不重合的两个平面，l和m是不重合的两条直线，那么α∥β的一个充分条件是（ ） A．lα，mα，且l∥β，m∥β B．lα，mβ，且l∥m C．l⊥α，m⊥β，且l∥m D．l∥α，m∥β，且l∥m 3．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是AB、BB1的中点，那么A1E和C1F所成的角是（ ） A．60° B．arccos C．arcsin D．45° 4．下列四个命题： （1）如果两个平面垂直于同一个平面，那么这两个平面平行； （2）直线a∥平面α，直线b∥平面α，且a、b都在平面β内，则平面α∥平面β； （3）一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角 必相等或互补； （4）两个二面角的面分别对应平行时，它们的平面角相等或互补； 其中正确的有 （ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．从P点出发的三条射线PA、PB、PC两两成60°角，则PC与面PAB所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D．以上都不对 6. (2004年北京春季高考)一个圆锥的侧面积是其底面积的2倍，则该圆锥的母线与底面所成的角为 （ ） A. B. C. D. 7. (2004年北京春季高考)两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5cm，4cm，3cm，把它们重叠在一起组成一个新长方体，在这些新长方体中，最长的对角线的长度是（ ） A. B. C. D. 8．球面上有3个点，其中任意两点的球面积距离都等于大圆周长的，经过这三点的小圆周长为4π，那么这个球的半径为 （ ） A．4 B．2 C．2 D． 9．正三棱锥底面边长为a，侧棱与底面所成角为60°，过底面一边作一截面使其与底面成 30°的二面角，则此截面面积为 （ ） A． B． C． D．以上答案都不对 10．二面角α—a—β的平面角为120°，在面α内，AB⊥a于B，AB=2在平面β内，CD⊥a 于D，CD=3，BD=1，M是棱a上的一个动点，则AM+CM的最小值为 （ ） A．2 B．2 C． D．2 11．如右图是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图，A、B、C是展开图 上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC的值为 （ ） A．180° B．120° C．60° D．45° 12．如图的多面体是过正四棱柱的底面ABCD的点A作载面 AB1C1D1而截得的，且BB1=DD1.已知截面AB1C1D1与 底面ABCD成30°的二面角，AB=1， 则这个多面体的体积为 （ ） A． B． C． D． 13．在三棱锥A—BCD中，P、Q分别是棱AC、BD上的点，连AQ、CQ、BP、DP、PQ， 若三棱锥A—BPQ、B—CPQ、C—DPQ的体积分别为6、2、8，则三棱锥A—BCD的 体积是 （ ） A．20 B．28 C．40 D．88 14．若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是 （ ） （A）三棱锥 （B）四棱锥 （C）五棱锥 （D）六棱锥 15．已知三棱锥中，顶点在底面的射影是三角形的内心，关于这个三棱锥有三个命题：①侧棱；②侧棱两两垂直；③各侧面与底面所成的二面角相等。其中错误的是 （ ） （A）①② （B）①③ （C）②③ （D）①②③ 16．若一棱台上、下底面面积分别是和，它的中截面面积是，则 （ ） （A） （B） （C） （D） 17．两两相交的三个平面将空间分成___________个部分。 18．正四棱柱的底面边长为，高为，一蚂蚁从顶点出发，沿正四棱柱的表面爬到顶点，那么这只蚂蚁所走过的最短路程为_________。 19．正四棱锥的高与底面边长都是1，侧棱与底面所成的角是，则________。 20．在三棱锥的四个面中，直角三角形最多可以有_________个。 21．空间四边形中，，，分别是边上的点，且为平行四边形，则四边形的周长的取值范围是____________。 22．若的中点到平面的距离为，点到平面的距离为，则点到平面 的距离为_________。 23．三棱锥中，侧棱两两垂直，底面内一点到三个侧面的距离分别是，那么________。 24．直三棱柱中，，，是上的一点，则到截面的距离等于__________。 25．正四面体中，分别是的中点，那么与平面所成的角的大小为___________。 26．正三棱锥的底面边长为，侧棱，则二面角的大小是______。 27．设棱长为4的平行六面体的体积为，分别是棱 上的点，且，则三棱锥的体积_______。 28．一个透明密闭的正方体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正方体，则水面在容器中的形状可以是：(1)三角形；(2)菱形；(3)矩形；(4)正方形；(5)正六边形。其中正确的结论是___________________。（把你认为正确的序号都填上） 29．在球面上有四个点P、A、B、C，如果PA、PB、PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=a， 那么这个球面的表面积是 . 30．正三棱锥S—ABC的侧棱长为1，两条侧棱的夹角为45°，过顶点A作一截面交SB于D，交SC于E，则△ADE的周长的最长小值是 . 31．α，β是两个不同的平面，m , n 是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断： ①m⊥n； ②α⊥β；③n⊥β； ④m⊥α，以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题 . 32．设是空间的不同直线或不同平面，且直线不在平面内，下列条件中能保证“若 ，且”为真命题的是 （填所有正确条件的代号） ①x为直线，y，z为平面 ②x，y，z为平面 ③x，y为直线，z为平面 ④x，y为平面，z为直线 ⑤x，y，z为直线 33．三棱锥中，，其余棱长均为1。 （1）求证：； （2）求三棱锥的体积的最大值。 34．直二面角中，分别是线段上的点（不包括端点）， 且,。 （1）若与平面所成的角为，求的值； （2）求函数的解析式及定义域、值域。 35. 如图，平面a∩平面b＝MN， 二面角A－MN－B为60o,点A∈a， 　　B∈b，C∈MN，∠ACM＝∠BCN＝45o. AC＝1, (1) 求点A到平面b的距离； (2) 求二面角A－BC－M的大小．　 第35题图 36. 已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC，F为BB1上的一点，BF＝BC＝2a， FB1＝a. (1) 若D为BC的中点，E为AD上不同于A、D的任一点，求证：EF⊥FC1； (2) 若A1B1＝3a，求FC1与平面AA1B1B所成角的大小． 37. 如图1，直角梯形ABCD中，∠BAD＝∠D＝90o，AD＝CD＝a，AB＝2a， 将△ADC沿AC折起，使点D到DM. (1) 若二面角DM－AC－B为直二面角(图2),求二面角DM－BC－A的大小； (2) 若二面角DM－AC－B为60o(图3)，求三棱锥DM－ABC的体积． 图1 图2 图3 38.(’85广东)已知直三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱AA1＝4cm， 它的底面△ABC中有AC＝BC＝2cm，∠C＝90o,E是AB的 中点． (1) 求证：CE和AB1所在的异面直线的距离等于cm； (2) 求截面ACB1与侧面ABB1A1所成的二面角的大小． 39．已知三棱锥P—ABC中，PC⊥底面ABC，AB=BC， D、F分别为AC、PC的中点，DE⊥AP于E． （1）求证：AP⊥平面BDE； （2）求证：平面BDE⊥平面BDF； （3）若AE∶EP=1∶2，求截面BEF分三棱锥 P—ABC所成两部分的体积比． 40．已知ABC—A1B1C1为正三棱柱，D是AC 的中点. （Ⅰ）证明：AB1//平面DBC1； （Ⅱ）若AB1⊥BC1，BC=2. ①求二面角D—BC1—C的大小； ②若E为AB1的中点，求三棱锥E—BDC1的体积. 41．在三棱柱ABC—A′B′C′中，四边形A′ABB′是菱形，四边形BCC′B′ 矩形，C′B′⊥AB． （Ⅰ）求证：平面CA′B⊥平面A′AB B′； （Ⅱ）若C′B′=3，AB=4，∠ABB′=60O，求直线AC′与平面BCC′B′所成角以及三棱锥A—BB′C′的体积． 42、直三棱柱中，，，分别是棱、 上的点，且。 （1）求直三棱柱中的高及的长； （2）动点在上移动，问在何位置时，的面积才能取得最小值。 八、参考答案 1-5.CCBBB； 6-10.CCBCC； 11-15.CDCDA； 16.C 17．6,7,8； 18．； 19．； 20．4个； 21．； 22．2或14； 23．7 ； 24． ； 25．；26．； 27．； 28．（2）（3）（4）（5）； 29. ； 30. 31. ①m⊥n ③n⊥β ④m⊥α②α⊥β（或②α⊥β③n⊥β④m⊥α①m⊥n） 32. ①③④ 33．解：（1）取中点，∵与均为正三角形，∴， ∴平面。 （2）当平面时，三棱锥的高为，此时。 34.解：（1）作于，则平面，∴，。 ，，由。 （2）函数解析式，定义域，值域. 35. (1)； (2)arctan(提示：求出点A在平面 b 的射影到直线BC的距离为). 36. (2) arcsin. 37. (1) 45o； (2). 38. (3) arccos. 39．解: (1）∵PC⊥底面ABC，BD平面ABC，∴PC⊥BD． 由AB=BC，D为AC的中点，得BD⊥AC．又PC∩AC=C，∴BD⊥平面PAC． 又PA平面、PAC，∴BD⊥PA．由已知DE⊥PA，DE∩BD=D，∴AP⊥平面BDE． （2）由BD⊥平面PAC，DE平面PAC，得BD⊥DE．由D、F分别为AC、PC的中点，得DF//AP． 由已知，DE⊥AP，∴DE⊥DF. BD∩DF=D，∴DE⊥平面BDF． 又DE平面BDE，∴平面BDE⊥平面BDF． （3）设点E和点A到平面PBC的距离分别为h1和h2．则 h1∶h2=EP∶AP=2∶3, 故截面BEF分三棱锥P—ABC所成两部分体积的比为1∶2或2∶1 说明：值得注意的是, “截面BEF分三棱锥P—ABC所成两部分的体积比”并没有说明先后顺序, 因而最终的比值答案一般应为两个,不要犯这种“会而不全”的错误. 40．解：（Ⅰ）连结CB1交BC1于O，连结OD （Ⅱ）① ② 41．（Ⅰ）证明　在三棱柱ABC—A′B′C′中，C′B′//CB， ∵C′B′⊥AB，∴CB⊥AB． 又四边形BCC′B′是矩形，CB⊥B′B，∴CB⊥平面A′AB B′． 而CB平面CA′B ，故平面CA′B⊥平面A′A B B′． （Ⅱ）解　过A作AH⊥BB′于H，连C′H． ∵CB⊥平A′AB B′，CB平面BC C′B′， ∴平面BCC′B′⊥平面A′AB B′． ∴AH⊥平面BCC′B′． ∴∠AC′H为AC′与平面BCC′B′所成的角． 连结A′B交于A′B于O，由四边形A′ABB′是菱形，ABB′=60O， 可知△ABB′为等边三角形， AB′=AB =4，而H为BB中点，于是AH=2 在Rt△C′B′A中， AC′=, 在Rt△AH C′中， 故直线AC′与平面BCC′B′所成的角为 又AH⊥平面BCC′B′. ∴点A到平面BCC′的距离即为AH=2. = ． 42．答案：（1），。 （2）即当与重合时，的面积才能取得最小值。 43．解：由题意设每一个面的边数为,则，∴， ∵，∴,将其代入欧拉公式,得,设过每一个顶点的棱数为,则，得,即（1）, ∵，∴,又， ∴的可能取值为，,, 当或时（1）中无整数解； 当,由（1）得, ∴, ∴， 综上可知:，，.