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如图所示,∠ABC=90°,四边形BCDE是平行四边形,E为AC中点,BD平分∠ABC,点F在AB上,且BF=BC,求证

来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/11/11 03:15:26
如图所示,∠ABC=90°,四边形BCDE是平行四边形,E为AC中点,BD平分∠ABC,点F在AB上,且BF=BC,求证:DF⊥AC.
怎么做辅助线呢?
如图所示,∠ABC=90°,四边形BCDE是平行四边形,E为AC中点,BD平分∠ABC,点F在AB上,且BF=BC,求证
解题思路: 利用全等三角形的对应角相等,等角的补角相等以及三角形内角和定理得到∠EOD=90°,即DF⊥AC
解题过程:
证明:
延长DE交AB于点G,连接AD.设AC与FD交于点O.
∵四边形BCDE是平行四边形,
∴ED∥BC,ED=BC.
∵点E是AC的中点,∠ABC=90°,
∴AG=BG,DG⊥AB.∴AD=BD,
∴∠BAD=∠ABD.
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠BAD=45°,即∠BDE=∠ADE=45°.
又BF=BC,∴BF=DE.
∴在△AED与△DFB中,
AD=BD,∠ADE=∠DBF,ED=FB
∴△AED≌△DFB(SAS),
∴∠AED=∠DFB,
∴∠DEO=∠DFG.
∵∠DFG+∠FDG=90°,
∴∠DO+∠EDO=90°,
∴∠EOD=90°,即DF⊥AC