已知函数f(x)=x(x-a)2,g(x)=-x2+(a-1)x(其中a为常数)
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/09/29 20:35:45
已知函数f(x)=x(x-a)2,g(x)=-x2+(a-1)x(其中a为常数)
(1)如果函数y=f(x)和y=g(x)有相同的极值点,求a的值,并写出函数y=f(x)的单调区间;
(2)求方程f(x)-g(x)=0在区间[-1,3]上实数解的个数.
(1)如果函数y=f(x)和y=g(x)有相同的极值点,求a的值,并写出函数y=f(x)的单调区间;
(2)求方程f(x)-g(x)=0在区间[-1,3]上实数解的个数.
(本小题满分13分)
(1)f(x)=x(x-a)2=x3-2ax2+a2x,
则f'(x)=3x2-4ax+a2=(3x-a)(x-a),…(1分)
令f'(x)=0,得x=a或
a
3,而二次函数g(x)在x=
a−1
2处有极大值,
∴
a−1
2=a⇒a=−1或
a−1
2=
a
3⇒a=3;
综上:a=3或a=-1.…(4分)
当a=3时,y=f(x)的单调增区间是(-∞,1],[3,+∞),减区间是(1,3)…(5分)
当a=-1时,y=f(x)的单调增区间是(−∞,−1], [−
1
3,+∞),减区间是(−1,−
1
3); …(6分)
(2)f(x)−g(x)=x(x−a)2−[−
x2 +(a−1)x+a]
=x(x-a)2+(x-a)(x+1)
=(x−a)[
x2 +(1−a)x+1],…(8分)
h(x)=
x2 +(1−a)x+1,△=(a+1)(a-3)
1°当-1<a<3时,△<0,h(x)=0无解,故原方程的解为x=a∈[-1,3],满足题意,
即原方程有一解,x=a∈[-1,3]; …(9分)
2°当a=3时,△=0,h(x)=0的解为x=1,故原方程有两解,x=1,3;
3°当a=-1时,△=0,h(x)=0的解为x=-1,故原方程有一解,x=-1;
4°当a>3时,△>0,由于h(-1)=a+1>4,h(0)=1,h(3)=13-3a
若13−3a≤0⇒a≥
13
3时,h(x)=0在[-1,3]上有一解,故原方程有一解;
若13−3a>0⇒3<a<
13
3时,h(x)=0在[-1,3]上无解,故原方程有无解;
5°当a<-1时,△>0,由于h(-1)=a+1<0,h(0)=1,h(3)=13-3a>0,
h(x)=0在[-1,3]上有一解,故原方程有一解; …(11分)
综上可得:当3<a<
13
3时,原方程在[-1,3]上无解;当a<3或a≥
13
3时,原方程在[-1,3]上有一解;当a=3时,原方程在[-1,3]上有两解.…(13分)
(1)f(x)=x(x-a)2=x3-2ax2+a2x,
则f'(x)=3x2-4ax+a2=(3x-a)(x-a),…(1分)
令f'(x)=0,得x=a或
a
3,而二次函数g(x)在x=
a−1
2处有极大值,
∴
a−1
2=a⇒a=−1或
a−1
2=
a
3⇒a=3;
综上:a=3或a=-1.…(4分)
当a=3时,y=f(x)的单调增区间是(-∞,1],[3,+∞),减区间是(1,3)…(5分)
当a=-1时,y=f(x)的单调增区间是(−∞,−1], [−
1
3,+∞),减区间是(−1,−
1
3); …(6分)
(2)f(x)−g(x)=x(x−a)2−[−
x2 +(a−1)x+a]
=x(x-a)2+(x-a)(x+1)
=(x−a)[
x2 +(1−a)x+1],…(8分)
h(x)=
x2 +(1−a)x+1,△=(a+1)(a-3)
1°当-1<a<3时,△<0,h(x)=0无解,故原方程的解为x=a∈[-1,3],满足题意,
即原方程有一解,x=a∈[-1,3]; …(9分)
2°当a=3时,△=0,h(x)=0的解为x=1,故原方程有两解,x=1,3;
3°当a=-1时,△=0,h(x)=0的解为x=-1,故原方程有一解,x=-1;
4°当a>3时,△>0,由于h(-1)=a+1>4,h(0)=1,h(3)=13-3a
若13−3a≤0⇒a≥
13
3时,h(x)=0在[-1,3]上有一解,故原方程有一解;
若13−3a>0⇒3<a<
13
3时,h(x)=0在[-1,3]上无解,故原方程有无解;
5°当a<-1时,△>0,由于h(-1)=a+1<0,h(0)=1,h(3)=13-3a>0,
h(x)=0在[-1,3]上有一解,故原方程有一解; …(11分)
综上可得:当3<a<
13
3时,原方程在[-1,3]上无解;当a<3或a≥
13
3时,原方程在[-1,3]上有一解;当a=3时,原方程在[-1,3]上有两解.…(13分)
已知函数f(x)=lnx-(a/x),g(x)=e^x(ax+1),a为常数
设函数f(x)=x3+2ax2+bx+a,g(x)=x2-3x+2,其中x∈R,a、b为常数,已知曲线y=f(x)与y=
已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a(a为常数)急.
已知函数f(x)=log2(x+x/a)为奇函数(a为常数)且x>0时g(x)=f(x),求当x
已知函数f(x)=ex(x2+ax-a),其中a是常数.
已知函数f(x)=1/2x2+alnx,g(x)=(a+1)x(a≠-1),H(x)=f(x)-g(x).
已知函数f(x)=x(x-a)^2,g(x)=-x^2+(a-1)x+a(其中a为常数)
已知函数f(x)=x2+2x+a,f(bx)=9x2-6x+2,其中x属于R,a,b为常数,则方程f(ax+b)的解集为
已知函数f(x)=(x²-2x+a)/x,x∈(0,2],其中常数a>0,求函数f(x)的最小值
已知函数f(x)=ax^2-x+2a-1(a为实常数)
已知函数f(x)=ax²-|x|+2a-1(a为实常数)
已知函数f(x)=x*lnx,g(x)=lnx+2x-6.(1)求f(x)在(0,a](其中a为大于0的常数)上的最小值