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在锐角三角形ABC中,AD,BC,FE分别为三边上的高,证明三角形ABC的垂心H是三角形DEF的内心.

来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/11/19 17:09:26
在锐角三角形ABC中,AD,BC,FE分别为三边上的高,证明三角形ABC的垂心H是三角形DEF的内心.
在锐角三角形ABC中,AD,BC,FE分别为三边上的高,证明三角形ABC的垂心H是三角形DEF的内心.
证明:
∵三点确定一个圆,∴设B,C,F确定的圆为⊙O
∵∠BFC=90°,∴BC是直径.
又∵∠BEC=90°,∴E在⊙O上,即BCEF四点共圆.
∴∠EFC=∠EBC
又∵∠BFH=∠HDB=90°,∴∠BFH+∠HDB=180°,∴BFHD四点共圆.
∴∠HBD=∠HFD
∴∠EFC=∠DFC,即FC是∠DFE的角平分线.
同理可证BE,AD分别是∠DEF,∠EDF的角平分线
∴H是△DEF的内心.