求证:2^(n+2)*3^n+5n-4能被25整除
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/23 16:33:46
求证:2^(n+2)*3^n+5n-4能被25整除
【证】
[2^(n+2)]×(3^n)+5n-4
={[2^(n+2)]×(3^n)-4}+5n
={4×2^n)×(3^n)-4}+5n
=4(6^n-1)+5n
6^n-1=(1+5)^n-1=5+5^2+...+5^n
所以,4(6^n-1)可以被5整除,后面的一项也可以被5整除,
因此,2^(n+2)×3^n+5n-4可以被25整除
这是别人提问有人回答的,但我感到不怎么对,好像是证明了能被5整除.
【证】
[2^(n+2)]×(3^n)+5n-4
={[2^(n+2)]×(3^n)-4}+5n
={4×2^n)×(3^n)-4}+5n
=4(6^n-1)+5n
6^n-1=(1+5)^n-1=5+5^2+...+5^n
所以,4(6^n-1)可以被5整除,后面的一项也可以被5整除,
因此,2^(n+2)×3^n+5n-4可以被25整除
这是别人提问有人回答的,但我感到不怎么对,好像是证明了能被5整除.
求证:2^(n+2)*3^n+5n-4能被25整除
先找出原解的错误:6^n-1≠5+5^2+...+5^n,显然当n=2时,左右不相等
其实6^n-1=5(1+6+36+……6^n-1)
【证】
方法I:单刀直入 [2^(n+2)]×(3^n)+5n-4 ={[2^(n+2)]×(3^n)-4}+5n ={4×2^n)×(3^n)-4}+5n =4(6^n-1)+5n
二项式定理
(a+b)^n=Cn0a^nb^0+Cn1a^(n-1)b^1+...+Cn(n-1)a^1b^(n-1)+Cnna^0b^n Cn0表示从n个物体选0个物体的组合方法数,排列组合你应该学过吧,那对C就比较了解.Cnm=n!/m!(n-m)!
然后用同余法
4*6^n=4*(5+1)^n+5n=4*(Cn05^n*1^0+Cn15^(n-1)*1^1+...+Cn(n-1)5^1*1^(n-1)+Cnn5^0*1^n ),5^2项以上都可以被25整除,然后处理剩余项目,4[Cnn5^0*1^n+Cn(n-1)5^1*1^(n-1)]+5n-4而Cnn=1,Cn(n-1)=n,代入[Cnn5^0*1^n+Cn(n-1)5^1*1^(n-1)]+5n-4=5n+4*5*n=25n也能被25整除,两部分都能被25整除,所以2^(n+2)*3^n+5n-4能被25整除
方法II:数学归纳
1.当n=1时 2^(n+2)*3^n+5n-4=25,能被25整除
2.当n=k时 假定2^(k+2)*3^k+5k-4能被25整除
3.当n=k+1时 2^(k+3)*3^(k+1)+5(k+1)-4=6*[2^(k+2)*3^k+5k-4]-25k+25,其中2^(k+2)*3^k+5k-4能被25整除,-25k+25能被25整除,所以2^(k+3)*3^(k+1)+5(k+1)-4能被25整除
综上所述,2^(n+2)*3^n+5n-4能被25整除
第二种方法是用代数方法处理数论问题的一般方法.
先找出原解的错误:6^n-1≠5+5^2+...+5^n,显然当n=2时,左右不相等
其实6^n-1=5(1+6+36+……6^n-1)
【证】
方法I:单刀直入 [2^(n+2)]×(3^n)+5n-4 ={[2^(n+2)]×(3^n)-4}+5n ={4×2^n)×(3^n)-4}+5n =4(6^n-1)+5n
二项式定理
(a+b)^n=Cn0a^nb^0+Cn1a^(n-1)b^1+...+Cn(n-1)a^1b^(n-1)+Cnna^0b^n Cn0表示从n个物体选0个物体的组合方法数,排列组合你应该学过吧,那对C就比较了解.Cnm=n!/m!(n-m)!
然后用同余法
4*6^n=4*(5+1)^n+5n=4*(Cn05^n*1^0+Cn15^(n-1)*1^1+...+Cn(n-1)5^1*1^(n-1)+Cnn5^0*1^n ),5^2项以上都可以被25整除,然后处理剩余项目,4[Cnn5^0*1^n+Cn(n-1)5^1*1^(n-1)]+5n-4而Cnn=1,Cn(n-1)=n,代入[Cnn5^0*1^n+Cn(n-1)5^1*1^(n-1)]+5n-4=5n+4*5*n=25n也能被25整除,两部分都能被25整除,所以2^(n+2)*3^n+5n-4能被25整除
方法II:数学归纳
1.当n=1时 2^(n+2)*3^n+5n-4=25,能被25整除
2.当n=k时 假定2^(k+2)*3^k+5k-4能被25整除
3.当n=k+1时 2^(k+3)*3^(k+1)+5(k+1)-4=6*[2^(k+2)*3^k+5k-4]-25k+25,其中2^(k+2)*3^k+5k-4能被25整除,-25k+25能被25整除,所以2^(k+3)*3^(k+1)+5(k+1)-4能被25整除
综上所述,2^(n+2)*3^n+5n-4能被25整除
第二种方法是用代数方法处理数论问题的一般方法.
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