大师作文网证明：当x>0时,有x/x+1
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/12 23:53:37
证明：当x>0时,有x/x+1
证明：
构造函数f(x)=arctanx-x/(x+1),f(x)在(0,+∞)内连续可导
f'(x)=1/(1+x²)-1/(x+1)²
∵x>0
∴(x+1)²=1+x²+2x>1+x²>0
∴1/(1+x²)>1/(x+1)²
∴f'(x)>0,f(x)在(0,+∞)内单调递增
∴f(x)>f(0)=0
∴arctanx>x/(x+1)
同理,构造函数g(x)=x-arctanx,g(x)在(0,+∞)内连续可导
g'(x)=1-1/(1+x²)=x²/(1+x²)
∵x>0
∴g'(x)=x²/(1+x²)>0,g(x)在(0,+∞)内单调递增
∴g(x)>g(0)=0
∴x>arctanx
综上可得
当x>0时,有x/(x+1)
构造函数f(x)=arctanx-x/(x+1),f(x)在(0,+∞)内连续可导
f'(x)=1/(1+x²)-1/(x+1)²
∵x>0
∴(x+1)²=1+x²+2x>1+x²>0
∴1/(1+x²)>1/(x+1)²
∴f'(x)>0,f(x)在(0,+∞)内单调递增
∴f(x)>f(0)=0
∴arctanx>x/(x+1)
同理,构造函数g(x)=x-arctanx,g(x)在(0,+∞)内连续可导
g'(x)=1-1/(1+x²)=x²/(1+x²)
∵x>0
∴g'(x)=x²/(1+x²)>0,g(x)在(0,+∞)内单调递增
∴g(x)>g(0)=0
∴x>arctanx
综上可得
当x>0时,有x/(x+1)