大师作文网物理公式正泫交变电流有效值的推导,
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：物理作业 时间：2024/11/06 17:29:26
物理公式正泫交变电流有效值的推导,
高中物理教材第二册《交变电流》一章,关于按正弦规律变化的交流电,其有效值与峰值（即最大值）之间的关系式是直接给出的,并未给予任何证明,而一般认为推证要用到高等数学,考虑到受学生数学知识水平的限制,只得放弃理论证明.若用实验法来验证,实际操作又困难,因此只好要求学生死记硬背下来.如此教学虽为省事,但缺乏引导启发,不但满足不了学生的求知欲望,反而助长了学生被动接收知识的不良习惯.对于一个重要而又简单的公式,本可以弄清它的由来,却让学生这么稀里糊涂地接受,终究是本章教学的一个缺憾.为寻求解决途径,有的教师曾试图用时间分割求和法进行推证,但由于此法涉及到微积分中的基本求和思想,所需的数学知识仍然偏高,不大适合普通学生.为使推证对学生普遍适用,本文试偿用两种行之有效的图象法进行推证,运用此法可在很大程度上改进有效值这一重要章节内容的教学方法和教学模式.
方法一：当电阻R通过按正弦规律变化的交变电流为
i=ImSinωt= ImSin（2πt/T）(式中Im为交变电流的峰值,T为交变电流的周期)时,电阻R所消耗的瞬时电功率为：
p=i2R= Im2RSin2（2πt/T）= Im2R[1-COS（4πt/T）]/2
=P0[1-COS（4πt/T）]
(令PO= Im2R/2)
作出电阻的p—t图线（如图1所示）,因为电功W=Pt,所以p—t图线及两坐标轴所围成的面积大小便表示在时间t内电阻所消耗的电功W.根据-COS（4πt/T）图线的对称性（注意此图线显示的周期是交变电流周期T的一半）,虚线以上阴影部分的面积刚好填补虚线以下空白部分的面积,因此阴影所示部分的面积S=Pot= Im2RT/2,即在一个周期T时间内,电阻消耗的电功可表示为：W=S= Im2RT/2.设交变电流的有效值为I,根据有效值的定义,在一个周期T时间内,电阻R消耗的电功又可表示为：W=I2RT 所以Im=.
同理,根据u=iR= ImRSin（2πt/T）=Um Sin（2πt/T）及U=IR,可求得电压有效值U与峰值Um的关系式：Um=.
方法二：设两只阻值完全相同的电阻,同时分别通以按正弦和余弦变化的交变电流,电流的瞬时值表达式分别为：
i=ImSinωt 和i=Imcosωt（式中ω=2π/T,T为交流电的周期,Im为电流峰值）,则电阻消耗的瞬时电功率分别表示为和,将此两式相加得：
P总=P1+P2=Im2R
此式表明两电阻消耗的总功率为一恒定值.
设在时间t=T内,两电阻消耗的电功分别为W1和W2,则两电阻消耗的总电功为：
W总= W1+W2= P总T= Im2RT.
为了弄清W1和W2之间的关系,分别作出i1-t和i2-t图线,如图2和图3所示.比较图2和图3,不难发现,图2 中t1=T/4时段电流变化跟图3中t4=T/4时段电流i2的变化完全相同,显然对两只电阻而言,电流i1在t1时段做的电功跟电流i2在t4时段做的电功完全相同.由此推知,在一个周期T内交变电流i1和i2对电阻做的电功相等,即W1=W2= Im2RT/2.设交变电流i1和i2的有效值为I,根据有效值的定义,知W1=W2= I2RT,所以Im2RT/2=I2RT,Im=.同理可求得电压有效值与峰值之间的关系式.
综合上述推导过程可知,采用图象法推导正弦效流电的有效值公式,对所需的数学知识要求并不高,学生易于接受.当然在教学中,若能恰当地引导学生同时运用两种方法分别进行推导,那么不仅能让学生在推导过程中感受到数学分析法在物理学中的重要作用,也能让学生深刻理解所涉及的物理概念和物理规律；不仅有利于改变学生“只知其一而不知其二”的求学方式,更有利于提高学生学习物理的兴趣和拓展学生的数理思维.
方法一：当电阻R通过按正弦规律变化的交变电流为
i=ImSinωt= ImSin（2πt/T）(式中Im为交变电流的峰值,T为交变电流的周期)时,电阻R所消耗的瞬时电功率为：
p=i2R= Im2RSin2（2πt/T）= Im2R[1-COS（4πt/T）]/2
=P0[1-COS（4πt/T）]
(令PO= Im2R/2)
作出电阻的p—t图线（如图1所示）,因为电功W=Pt,所以p—t图线及两坐标轴所围成的面积大小便表示在时间t内电阻所消耗的电功W.根据-COS（4πt/T）图线的对称性（注意此图线显示的周期是交变电流周期T的一半）,虚线以上阴影部分的面积刚好填补虚线以下空白部分的面积,因此阴影所示部分的面积S=Pot= Im2RT/2,即在一个周期T时间内,电阻消耗的电功可表示为：W=S= Im2RT/2.设交变电流的有效值为I,根据有效值的定义,在一个周期T时间内,电阻R消耗的电功又可表示为：W=I2RT 所以Im=.
同理,根据u=iR= ImRSin（2πt/T）=Um Sin（2πt/T）及U=IR,可求得电压有效值U与峰值Um的关系式：Um=.
方法二：设两只阻值完全相同的电阻,同时分别通以按正弦和余弦变化的交变电流,电流的瞬时值表达式分别为：
i=ImSinωt 和i=Imcosωt（式中ω=2π/T,T为交流电的周期,Im为电流峰值）,则电阻消耗的瞬时电功率分别表示为和,将此两式相加得：
P总=P1+P2=Im2R
此式表明两电阻消耗的总功率为一恒定值.
设在时间t=T内,两电阻消耗的电功分别为W1和W2,则两电阻消耗的总电功为：
W总= W1+W2= P总T= Im2RT.
为了弄清W1和W2之间的关系,分别作出i1-t和i2-t图线,如图2和图3所示.比较图2和图3,不难发现,图2 中t1=T/4时段电流变化跟图3中t4=T/4时段电流i2的变化完全相同,显然对两只电阻而言,电流i1在t1时段做的电功跟电流i2在t4时段做的电功完全相同.由此推知,在一个周期T内交变电流i1和i2对电阻做的电功相等,即W1=W2= Im2RT/2.设交变电流i1和i2的有效值为I,根据有效值的定义,知W1=W2= I2RT,所以Im2RT/2=I2RT,Im=.同理可求得电压有效值与峰值之间的关系式.
综合上述推导过程可知,采用图象法推导正弦效流电的有效值公式,对所需的数学知识要求并不高,学生易于接受.当然在教学中,若能恰当地引导学生同时运用两种方法分别进行推导,那么不仅能让学生在推导过程中感受到数学分析法在物理学中的重要作用,也能让学生深刻理解所涉及的物理概念和物理规律；不仅有利于改变学生“只知其一而不知其二”的求学方式,更有利于提高学生学习物理的兴趣和拓展学生的数理思维.