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若a-b/a+b是不等于1的有理数,求证a/b是有理数

来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/24 22:25:48
若a-b/a+b是不等于1的有理数,求证a/b是有理数

a/b是有理数的意思是结果也是有理数。
若a-b/a+b是不等于1的有理数,求证a/b是有理数
显然a不为0,1;b不为0
要证a/b是有理数,
即证 1.a,b都是无理数且a=kb(k是不为零的有理数);
或2.a,b都是有理数
若是情况1,则a-b/a+b=(k-1/k+1)b是无理数或1,与题矛盾,
所以假设“a,b都是无理数且a=kb(k是不为零的有理数)”不成立;
下证a,b都是有理数:
(反证法)
若a,b均无理,且不成比例关系,则a-b/a+b是无理数,与题矛盾
若a有理,b无理,=a+(1-1/a)b,是无理数或1,与题矛盾
若a无理,b有理,则a-b/a+b=(a-b/a)+b是无理数,与题矛盾
综上,要满足“a-b/a+b是不等于1的有理数”,只可能是a,b均为有理数且a不为0或1,b不为0,即证得a/b是有理数.