费马小定理中(a,

来源：学生作业帮编辑：大师作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/13 09:28:40

费马小定理中(a,

费马小定理是数论中的一个定理,其内容为:假如a是一个整数,p是一个质数的话,那么 a^p \equiv a \p mod
假如a不是p的倍数的话,那么这个定理也可以写成 a^ \equiv 1 \p mod .（符号的应用请参见模运算）
皮埃尔•德•费马于1636年发现了这个定理,在一封1640年10月18日的信中他第一次使用了上面的书写方式.在他的信中费马还提出a是一个质数的要求,但是这个要求实际上是不存在的.与费马无关的有一个中国猜想,这个猜想是中国数学家提出来的,其内容为：当且仅当当2p=2(mod p),p才是一个质数.
假如p是一个质数的话,则2p = 2(mod p)成立（这是费马小定理的一个特殊情况）是对的.但反过来,假如2p = 2(mod p)成立那么p是一个质数是不成立的（比如341符合上述条件但不是一个质数）.因此整个来说这个猜想是错误的.一般认为中国数学家在费马前2000年的时候就已经认识中国猜测了,但也有人认为实际上中国猜测是1872年提出的,认为它早就为人所知是出于一个误解.
关于费马定理证明
假如a 差不能被p整除的话 ,那么假如x>0和x和p的最大公约数为1的话(a,p互素) ,则x•a与x•a 的差也不能被n整除(也就是说x.a,x.a,.(p-1).a 不是模n同余的).取A为所有小于p 的整数的集（A中的数都不能被p整除）,
B为A中所有元素除以a所获得的数集.任何两个A 的元素的差都不能被p整除而又有相同的余数,由此任何两个B中的元素的差也无法被p整除.由此可得
而试图在p-1个元素里取p-1个不同的元素,则必定是相同的
则A集合中元素的乘积,和B集合中元素的乘积一定是模p同余的
即 1.a ×2.a x×3.a.(p-1).a=1×2×3×4.×（p-1)(mod p)
(p-1)!=ap-1(p-1)!(mod p)
在这里W=1•2•3•...•(p-1).(威尔逊定理）
由于gcd((p-1),p)=1,两边同除以(p-1)!,即可得到费马小定理

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