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勾股定理 多值
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1、运用勾股定理求值 例1、如图,在△ABC中,CD⊥AB于D,若AB=5,CD=,∠BCD=30°,求AC的长． ∵CD⊥AB于D,∠BCD=30°,∴BD=BC． 　　设BD=x,则BC=2x． 　　在Rt△BCD中,由勾股定理有BD2＋CD2=BC2,即 　　x2＋()2=(2x)2,解得x=2． 　　∴BD=2,∵AB=5,∴AD=3． 　　在Rt△ACD中,由勾股定理有 　　AC2=AD2＋CD2=32＋()2=21, 　　∴AC=． 点拨： 　　这里分别在两个直角三角形中运用了勾股定理,但含30°角的直角三角形的性质也给解题带来了很大的方便． 例2、如图,在△ABC中,∠A=90°,P是AC的中点,PD⊥BC于D,BC=9,DC=3,求AB的长． 连结PB,BD=BC－DC=6． 　　在Rt△BDP和Rt△PDC中, 　　PD2=BP2－BD2,PD2=PC2－DC2, 　　∴BP2－BD2=PC2－DC2． 　　∴BP2－ PC2=36－9=27． 　　∵AP=PC,∴BP2－AP2=AB2=27, 　　∴AB=． 点拨： 　　连结BP,在PD为公共边的两个直角三角形中运用勾股定理,得到BP2－PC2=BD2－DC2=27,是解答本题的关键所在． 例3、如图,在△ABC中,∠C=90°,AD、BE是中线,BE=,AD=5,求AB的长． 设CE=x,CD=y,则 　　AC=2x,BC=2y． 　　在Rt△ACD和Rt△BCE中,由勾股定理得 　　 　　在Rt△ABC中,． 点拨：运用勾股定理计算时,常设未知数,列方程或方程组来求解． 2、构造直角三角形解题 例4、如图,已知,∠A=60°,∠B=∠D=90°,AB=2,CD=1．求BC和AD的长． 如图,延长BC,AD交于E． 　　∵∠B=90°,∠A=60°, 　　∴∠E=30°,∴AE=2AB=4． 　　同理CE=2CD=2． 　　在Rt△ABE中,BE2=AE2－AB2=16－4=12, 　　∴BE=． 　　在Rt△CDE中,DE2=CE2－CD2=4－1=3, 　　∴DE=． 　　∴BC=BE－CE=－2,AD=AE－DE=4－． 点拨： 　　灵活根据图形及条件,构造直角三角形（其实也就是补图）,创造条件去利用勾股定理解题． 例5、如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D、E在BC上,且∠DAE=45°,求证：CD2＋BE2=DE2． 如图,将△ABE绕点A逆时针旋转90°得△ACF,则 　　∠ACF=∠B=45°,BE=CF,∠BAE=∠CAF． 　　又∵∠ACB=45°,∴∠DCF=90°． 　　∵∠EAD=45°,∴∠BAE＋∠DAC=45°． 　　∴∠DAF=∠CAF＋∠DAC=45°． 　　在△AED和△AFD中, 　　∴△AED≌△AFD,∴ED=FD． 　　又在Rt△CDF中,CD2＋CF2=FD2,∴CD2＋BE2=DE2. 点拨： 　　此题从待论证的结论可以联想到勾股定理,而三条线段不在同一个直角三角形中,故可运用旋转法将分散的线段集中在同一个三角形中． 3、运用面积法解题 例6、如图,△ABC中,∠B=90°,两直角边AB=7,BC=24．在三角形内有一点P到各边的距离相等,则这个距离是（　） 　A．1　　　　　　　　　　　　B．3 　C．6　　　　　　　　　　　　D．无法求出 依勾股定理知AC=． 　　设点P到各边的距离为r,连结PA、PB、PC．依三角形的面积关系,有 　　S△ABP＋S△BCP＋S△ACP=S△ABC, 　　即AB·r＋BC·r＋AC·r=AB·BC． 　　得（7＋24＋25）r=7×24,解得r=3． 　　故选B． 点拨： 　　涉及到垂线段的问题,常可联系到某一三角形的高,从而可应用面积法来解题．因为它是一种代数方法,因此显得十分直观、简捷． 例7、如图,Rt△ABC的两直角边AB=4,AC=3,△ABC内有一点P,PD⊥BC于D,PE⊥AC于E,PF⊥AB于F,且．求PD、PE、PF的长． 在Rt△ABC中, 　　∵AB=4,AC=3,∴BC==5． 　　设PF=x,PE=y,PD=z,则 　　．　　① 　　连结PA、PB、PC． 　　∵S△PAB＋S△PBC＋S△PAC=S△ABC, 　　∴AB·x＋BC·z＋AC·y=AB·AC, 　　即4x＋3y＋5z=12．　　　② 　　①＋②,得4x＋3y＋5z＋=24, 　　配方,得 　　 　　∴PD=PE=PF=1． 点拨： 　　本题显然不能直接运用勾股定理来计算PD、PE、PF的长,只能在连结PA、PB、PC后,将原三角形分成三个分别以AB、BC、CA为底,PF、PD、PE为高的三角形,由面积法列出关系式,再利用题设条件,即可求解． 4、构造几何图形解答代数问题 例8、设a、b、c、d都是正数,求证： 　　． 分析：题中出现线段的平方和,考虑构造直角三角形,利用勾股定理证明． 证明：构造一个边长分别为(a＋b)、(c＋d)的矩形ABCD（如图）． 　　　在Rt△ABE中, 　　　． 　　　在Rt△BCF中, 　　　． 　　　在Rt△DEF中, 　　　． 　　　在△BEF中,BE＋EF>BF,即 　　　 点拨： 　　勾股定理将直角三角形的位置关系（两边垂直）转化为数量关系,这为我们运用代数方法研究几何问题提供了工具,反过来,对有些代数问题,特别是含有平方和或平方差的代数式,我们也可以通过构造直角三角形用勾股定理来解决,即用几何方法解决代数问题．