已知函数fx=1/3x3+1/2ax2+bx+c
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/25 04:32:45
已知函数fx=1/3x3+1/2ax2+bx+c
当a=1,b=-2时,f′(x)=x2+x-2<0,解得-2<x<1,故递减区间为(-2,1).
f′(x)=x2+ax+b,又f(x)区间[-1,1),(1,3]内各有一个极值点,
所以 f′(−1)≥0 f′(1)<0 f′(3)≥0 ,即 1−a+b≥0 1+a+b<0 9+3a+b≥0 ,
其中点(a,b)是以A(0,-1),B(-2,-3),C(-4,3)为顶点的三角形内部的点,或线段BC(不含点C)、线段AB(不含点A)上的点.
又f(−1)=−1 3 +1 2 a−b+c≤0,即c≤1 3 −1 2 a+b恒成立,即求1 3 −1 2 a+b的最小值,
由图可知1 3 −1 2 a+b的最小值在B(-2,-3)点处取到,故(1 3 −1 2 a+b)min=−5 3 ,即c≤−5 3 .
(3)证明:因为f(x)=1 3 x3+1 2 ax2+bx+c,所以f'(x)=x2+ax+b,
所以l1,l2的斜率分别为k1=x12+ax1+b,k2=x22+ax2+b.
又直线l1与l2平行,所以k1=k2,即x12+ax1+b=x22+ax2+b,
因为x1≠x2,所以x1+x2=-a,从而x2=-(a+x1),
所以f(x1)+f(x2)=1 3 x13+1 2 ax12+bx1+c−1 3 (a+x1)3+1 2 a(a+x1)2−b(a+x1)+c=a3 6 −ab+2c=2f(−a 2 ).
又由上 x1+x2=-a,所以点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))(x1≠x2)关于点(−a 2 ,f(−a 2 ))对称.
故当直线l1与l2平行时,点A与点B关于点(−a 2 ,f(−a 2 ))对称.
哈哈,我做过这是我当时的答案,
f′(x)=x2+ax+b,又f(x)区间[-1,1),(1,3]内各有一个极值点,
所以 f′(−1)≥0 f′(1)<0 f′(3)≥0 ,即 1−a+b≥0 1+a+b<0 9+3a+b≥0 ,
其中点(a,b)是以A(0,-1),B(-2,-3),C(-4,3)为顶点的三角形内部的点,或线段BC(不含点C)、线段AB(不含点A)上的点.
又f(−1)=−1 3 +1 2 a−b+c≤0,即c≤1 3 −1 2 a+b恒成立,即求1 3 −1 2 a+b的最小值,
由图可知1 3 −1 2 a+b的最小值在B(-2,-3)点处取到,故(1 3 −1 2 a+b)min=−5 3 ,即c≤−5 3 .
(3)证明:因为f(x)=1 3 x3+1 2 ax2+bx+c,所以f'(x)=x2+ax+b,
所以l1,l2的斜率分别为k1=x12+ax1+b,k2=x22+ax2+b.
又直线l1与l2平行,所以k1=k2,即x12+ax1+b=x22+ax2+b,
因为x1≠x2,所以x1+x2=-a,从而x2=-(a+x1),
所以f(x1)+f(x2)=1 3 x13+1 2 ax12+bx1+c−1 3 (a+x1)3+1 2 a(a+x1)2−b(a+x1)+c=a3 6 −ab+2c=2f(−a 2 ).
又由上 x1+x2=-a,所以点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))(x1≠x2)关于点(−a 2 ,f(−a 2 ))对称.
故当直线l1与l2平行时,点A与点B关于点(−a 2 ,f(−a 2 ))对称.
哈哈,我做过这是我当时的答案,
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