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已知数列{an}的前n项和Sn=pn+q(p≠0且p≠1),求证q=-1是数列{an}成等比数列的充要条件.

来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/27 19:29:10
已知数列{an}的前n项和Sn=pn+q(p≠0且p≠1),求证q=-1是数列{an}成等比数列的充要条件.
已知数列{an}的前n项和Sn=pn+q(p≠0且p≠1),求证q=-1是数列{an}成等比数列的充要条件.
证明:当n=1时,a1=S1=p+q;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(p-1)•pn-1
由于p≠0,p≠1,
∴当n≥2时,{an}是等比数列.要使{an}(n∈N*)是等比数列,

a2
a1=p,即(p-1)•p=p(p+q),
∴q=-1,即{an}是等比数列的必要条件是p≠0且p≠1且q=-1.
再证充分性:
当p≠0且p≠1且q=-1时,Sn=pn-1,
an=(p-1)•pn-1
an
an−1=p(n≥2),
∴{an}是等比数列.