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如图,在△ABC中,D为AC上一点,CD=2DA,∠BAC=45°,∠BDC=60°,CE⊥BD,E为垂足,连接AE.

来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/11/10 20:54:29
如图,在△ABC中,D为AC上一点,CD=2DA,∠BAC=45°,∠BDC=60°,CE⊥BD,E为垂足,连接AE.
1)写出图中所有相等的线段,并选择其中一对给予证明;
2)图中有无相似三角形?若有,请写出一对.
3)求△BEC与△BEA的面积比.

如图,在△ABC中,D为AC上一点,CD=2DA,∠BAC=45°,∠BDC=60°,CE⊥BD,E为垂足,连接AE.
1.
图中相等的线段有DE=AD, AE=BE=CE
证明:取CD中点F,连接EF
∵CE⊥BD,F为CD中点
∴CF=DF=EF
∴∠FED=∠FDE
∵∠BDC=60
∴∠FED=60
∴等边△FED
∴ED=DF
∵CD=2AD
∴AD=DF
∴AD=DE
∴∠DEA=∠DAE
∵∠BDC=60
∴∠DEA=DAE=30
∵CE⊥BD,∠BDC=60
∴∠DCE=30
∴∠DCE=∠DAE=30
∴AE=CE
∵∠BAC=45
∴∠EAB=∠BAC-∠DAE=45-30=15
∵∠BDC=∠DBA+∠BAC
∴∠DBA=∠DBC-∠BAC=60-45=15
∴∠EAB=∠DBA
∴BE=AE
∴AE=BE=CE
2.∵CE⊥BD,∠BDC=60°
∴∠ACE=30°,∠ADE=120°
∵DE=DA
∴∠DAE=∠DEA=30°
∴∠DAE=∠DEA=∠ACE
∴△AEC∽△ADE (三个角相等)
(由(1)可求得∠EAD=∠DEA=30°,又由∠BAD=45°,即可得∠EAB的度数,然后由∠BDC=∠DBA+∠BAD,求得∠DBA的度数,即可证得∠EAB=∠EBA;
根据有两角对应相等的三角形相似,易证△AED∽△ACE)
3.第一种,如图,延长ED.过点A做ED的垂线.交ED与F点
∵CE⊥BD
∴∠CED=90°
又∵AF⊥BD
∴∠AFD=90°
∴AF‖CE
∴△AFD∽△CED
∵CD=2DA
∴CE=2AF
∴CE×BE=2AF×BE
∴(CE×BE)÷2=2(AF×BE)÷2
∴△BEC和△BEA的面积比为2:1
第二种,3)过A点作AF⊥BD交BD的延长线于F点,则
RT△AFD≈RT△CED
CE/AF=CD/AD=2
S△BEC/S△BEA=(BE*CE)/(BE*AF)=CE/AF=2
过程不一样,一个长一个短,自己挑吧