对于两个定义域相同的函数f(x),g(x),若存在实数m、n使h(x)=mf(x)+ng(x),则称函数h(x)是由“基
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/05 09:31:55
对于两个定义域相同的函数f(x),g(x),若存在实数m、n使h(x)=mf(x)+ng(x),则称函数h(x)是由“基函数f(x),g(x)”生成的.
(1)若f(x)=x2+3x和个g(x)=3x+4生成一个偶函数h(x),求h(2)的值;
(2)若h(x)=2x2+3x-1由函数f(x)=x2+ax,g(x)=x+b(a、b∈R且ab≠0)生成,求a+2b的取值范围;
(3)试利用“基函数f(x)=log4(4+1)、g(x)=x-1”生成一个函数h(x),使之满足下列件:①是偶函数;②有最小值1;求函数h(x)的解析式并进一步研究该函数的单调性(无需证明).
(1)若f(x)=x2+3x和个g(x)=3x+4生成一个偶函数h(x),求h(2)的值;
(2)若h(x)=2x2+3x-1由函数f(x)=x2+ax,g(x)=x+b(a、b∈R且ab≠0)生成,求a+2b的取值范围;
(3)试利用“基函数f(x)=log4(4+1)、g(x)=x-1”生成一个函数h(x),使之满足下列件:①是偶函数;②有最小值1;求函数h(x)的解析式并进一步研究该函数的单调性(无需证明).
(1)设h(x)=m(x2+3x)+n(3x+4)=mx2+3(m+n)x+4n,
∵h(x)是偶函数,∴m+n=0,∴h(2)=4m+4n=0;(4分)
(2)设h(x)=2x2+3x-1=m(x2+ax)+n(x+b)=mx2+(am+n)x+nb
∴
m=2
am+n=3
nb=-1得
a=
3-n
2
b=-
1
n
∴a+2b=
3-n
2-
2
n=
3
2-
n
2-
2
n(8分)
由ab≠0知,n≠3,
∴a+2b∈(-∞, -
1
2) ∪(
7
2,+∞)(11分)
(3)设h(x)=mlog4(4x+1)+n(x-1)
∵h(x)是偶函数,∴h(-x)-h(x)=0,
即mlog4(4-x+1)+n(-x-1)-mlog4(4x+1)-n(x-1)=0
∴(m+2n)x=0得m=-2n(13分)
则h(x)=-2nlog4(4x+1)+n(x-1)=-2n[log4(4x+1)-
1
2x+
1
2]=-2n[log4(2x+
1
2x)+
1
2]
∵h(x)有最小值1,则必有n<0,且有-2n=1∴m=1.n=-
1
2
∴h(x)=log4(2x+
1
2x)+
1
2
h(x)在[0,+∞)上是增函数,在(-∞,0]上是减函数.(18分)
∵h(x)是偶函数,∴m+n=0,∴h(2)=4m+4n=0;(4分)
(2)设h(x)=2x2+3x-1=m(x2+ax)+n(x+b)=mx2+(am+n)x+nb
∴
m=2
am+n=3
nb=-1得
a=
3-n
2
b=-
1
n
∴a+2b=
3-n
2-
2
n=
3
2-
n
2-
2
n(8分)
由ab≠0知,n≠3,
∴a+2b∈(-∞, -
1
2) ∪(
7
2,+∞)(11分)
(3)设h(x)=mlog4(4x+1)+n(x-1)
∵h(x)是偶函数,∴h(-x)-h(x)=0,
即mlog4(4-x+1)+n(-x-1)-mlog4(4x+1)-n(x-1)=0
∴(m+2n)x=0得m=-2n(13分)
则h(x)=-2nlog4(4x+1)+n(x-1)=-2n[log4(4x+1)-
1
2x+
1
2]=-2n[log4(2x+
1
2x)+
1
2]
∵h(x)有最小值1,则必有n<0,且有-2n=1∴m=1.n=-
1
2
∴h(x)=log4(2x+
1
2x)+
1
2
h(x)在[0,+∞)上是增函数,在(-∞,0]上是减函数.(18分)
小弟感激不尽!已知f(X),g(X)都是定义在R上的函数,若存在实数m,n使得h(X)=mf(x)+ng(x),则称h(
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