大师作文网悖论和错误的区别~
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：语文作业 时间：2024/11/14 00:53:01
悖论和错误的区别~
可以这么认为：悖论是由正确的理论/方法/途径等得到的错误的结论.错误却是有哪里不对路.
另外,悖论只是名词,错误可以是名词或形容词.
“悖论”（paradox）一词常见诸报端,其字面意思为“荒谬的理论或自相矛盾的话”.从逻辑上看,悖论性的语句具有这样的特征：如果假定这个语句为真,那么会推出这个语句为假；反之,如果假定这个语句为假,又会推出这个语句为真.说它对也不是,不对也不是,真是左右为难.
语义学悖论举例
悖论古已有之.一般认为,最早的悖论是古希腊的“说谎者悖论”.《新约全书·提多书》是这样记述的：
克里特人中的一个本地先知说：“克里特人总是撒谎,乃是恶兽,又馋又懒.”这个见证是真的.
这个克里特岛的“先知”是伊壁孟尼德（Epimenides）.后来欧布里德（Eubulides）将他的话改进为：
我正在说谎.
这句话是真的,还是假的? 如果是句真话,由这句话的内容可知：说话者正在撒谎,既然是撒谎,那么说的是假话；反之,如果这句话是假的,说假话就是说谎,这句话的内容正是“我正在说谎”,因此这句话又是真的.
后来又发现了好几种“说谎者悖论”的变种,例如所谓“说谎者循环”：
A说：“下面是句谎话.”
B说：“上面是句真话.”
“说谎者悖论”和“说谎者循环”是与自然语言的表达方式密切相关的悖论,涉及真假、定义、名称、意义等语义方面的概念,这类悖论被称为“语义学悖论”.语义学悖论的实例很多,“格列林（K.Grelling）-纳尔逊（L.Nelson）悖论”就饶有趣味,它与形容词的应用有关：
将形容词分为两类,一类称为“自谓的”,即可对于它们自身成立、对自己为真的.例如,形容词“Polysyllabic（多音节的）”本身是多音节的,“English（英文的）”本身是英文的,它们都是自谓的.另一类称为“它谓的”,即对于它们自身不成立、对自己不真的.例如,形容词“Monosyllabic（单音节的）”是它谓的,因为这个词不是一个单音节词；“英文的”也是它谓的,因为这个词是中文的而不是英文的.问题来了：形容词“它谓的”是不是它谓的?
得到的结果是：如果“它谓的”是它谓的,那么会推出“它谓的”不是它谓的,反之亦然.导致了自相矛盾.
集合论悖论与公理化
另一类悖论涉及数学中的集合论,被称为“数学悖论”或“集合论悖论”.集合论是19世纪70-80年代由德国数学家康托尔创立,它建立在一种无限观——“实无限”的基础上.所谓“实无限”,即把“无限”作为一个已经完成了的观念实体来看待.例如,在集合论中用N={n：n是自然数}表示全体自然数的集合就是如此.需要指出的是,在此之前的几千年数学发展史中,占主导地位的是另一种无限观,即古希腊哲学家亚里士多德所主张的“潜无限”观念.所谓“潜无限”,是把“无限”作为一个不断发展着的、又永远无法完成的过程来看待.例如,把自然数看成一个不断延伸的无穷无尽的序列1,2,3,…,n,…就是如此.
集合论是数学观念和数学方法上的一次革命性变革,由于它在解释旧的数学理论和发展新的数学理论方面都极为方便,因而逐渐为许多数学家所接受.然而,在康托尔创立集合论不久,他自己就发现了问题,这就是1899年的“康托尔悖论”,亦称“最大基数悖论”.与此同时,还发现了其他集合论悖论,最著名的是1901年的“罗素悖论”：
把集合分成两类,凡是不以自身作为元素的集合称为正常集,（例如,自然数集N本身不是一个自然数,因此N是正常集.）凡是以自身作为元素的集合称为异常集.（例如,所有的非生物的集合F并非生物,因此F是异常集.）每个集合或者为正常集或者为异常集.设V为全体正常集所组成的集合,即V={x：x?埸x},那么V是不是正常集?
如果V是正常集,由正常集的定义知V?埸V,又因V是全体正常集的集合,所以正常集V∈V,但这说明V不是正常集,是异常集；反之,如果V不是正常集,是异常集,那么由异常集的定义知V∈V,这说明V是全体正常集组成的集合V的元素,因而V又应该是正常集.
罗素悖论揭示了一个严酷的事实：集合论是隐含着逻辑矛盾的,如果把数学建立在集合论的基础之上,将会使数学大厦从根基上产生深深的裂痕,这种裂痕甚至有可能使整座大厦倾覆.一石激起千层浪,一场关于数学基础问题的论战爆发了.
在这场论战中,最为激进的是以荷兰数学家布劳威尔为代表的直觉主义学派,他们对集合论采取了全盘否定的态度,并认为“实无限”的观念是集合论悖论产生的根源.与此相反,另一些数学家走上了改良的道路,他们试图亡羊补牢,对集合论加以适当的修正,以避免悖论.这方面的代表性成果是公理集合论,它已成为现代数学的一个重要分支.公理集合论采用公理化的方法来刻画集合和集合的运算,并对康托尔集合论中的“概括原则”作了修正.概括原则可表述为：满足性质P的所有对象可以组成一个集合S,即S={x：P（x）},其中的P（x）意为“x具有性质P”.这就认定了任何性质可以决定一个集合,于是前述的F 和V名正言顺地成了集合,悖论也应运而生.
在公理集合论的ZF系统中,用如下的“分离原则”取代了概括原则：若C是一个集合,则C中满足性质P的那些元素构成一个集合S={x：x∈C且 P（x）},即在C是集合的前提下,任何性质可以决定它的一个子集.公理化的结果是：只有正常集才能成为集合,异常集则不能,F和V都不是集合,罗素悖论和其他的集合论悖论得以避免.
就公理集合论能避免已有的集合论悖论,并在此基础上可以进一步发展数学而言,它是成功的.遗憾的是,人们并不能证明公理集合论系统的相容性,即不能证明系统中一定不会推出逻辑矛盾.此外,现代数学中的某些结果需要使用“选择公理”,但这又将导致某些违背人们直觉的怪论（例如“分球怪论”）.因此,公理集合论的处理方式,尤其是选择公理的使用,仍有进一步讨论的必要.
对悖论的一些深入探讨
罗素悖论的发现,也促进了对于悖论（包括语义学悖论）成因的深入思考.1905—1906年间,庞加莱在《数学与逻辑》一文中提出了悖论的根源在于“非直谓定义”的论断.所谓非直谓定义是指：借助于一个总体来定义一个概念（或对象）,而这个概念（或对象）本身又属于这个总体.这种定义是循环的（罗素称为“恶性循环”）,或者说是“自我涉及”的.例如,异常集“所有的非生物的集合F ”就是如此.因为,F是借助于“所有的非生物”这一总体来定义的,而F本身又是这一总体中的一员.考察语义学悖论,也会发现类似的“循环”或“自我涉及”的踪迹.例如,“说谎者循环”就是A,B两个人的话彼此循环,而格列林-纳尔逊悖论中的“自谓的”和“它谓的”定义,则涉及了形容词对于自身的真假.
1931年,塔尔斯基（A.Tarski）在《形式化语言中的真概念》一文中,提出了“语言层次”的理论.虽然这一理论主要是针对形式语言的,但对于日常语言中的语义悖论研究也有重要意义.塔尔斯基认为,日常语言在语义上是封闭的：既包含了语言表达式,又包含了陈述这些语言表达式语义性质（例如“真”、“假”）的语句.这是语义悖论产生的根源.要建立实质上适当、形式上正确的关于“真句子”的定义,就必须对语言进行分层处理：被谈论的语句属于某一层次的语言（称为“对象语言”）,而陈述该语句语义性质的语句则属于高一层次的语言（称为“元语言”）.“说谎者悖论”就是因为断言了自身的真假,混淆了语言的层次而造成的.
1975年,当代著名逻辑学家克里普克（S.A.Kripke）在《真理论纲要》一文中提出了解决悖论的新方案.其中的一个核心概念是“有根性”：要判断一个含有真值谓词（“真”或“假”）的语句,必须寻找这个语句的“根”——相应的不含真值谓词的语句.例如,要判断“‘净水是无色透明的’是真的”这句话的真假,就要看“净水是无色透明的”这句话对不对,后一句话不包含真值谓词,并且它的对错是可以判断的,因此,前一句话是有根的.只有有根的语句才可以判断其真假,无根的语句则不行.“说谎者悖论”和“说谎者循环”都是无根的,这是悖论的基本特征.
新近的悖论研究受到了“情景语义学”的影响,语言逻辑学家注意到：许多语义悖论实际上不仅仅涉及语义,也与说话时的语境（包括语言使用者）等语用因素密切相关.以“说谎者悖论”为例,当某人说“我正在说谎”时,这意味着他在某种语境中表达这句话为真的断言.但是,“‘我正在说谎’是假的”这一语句,却不能在同样的语境中陈述,陈述它的是另一种语境.因此,悖论的根源不在于“自我涉及”,而是因为不同的语境.只要分清每一句话的语境,许多所谓的“悖论”就不再是真正的悖论了.
另外,悖论只是名词,错误可以是名词或形容词.
“悖论”（paradox）一词常见诸报端,其字面意思为“荒谬的理论或自相矛盾的话”.从逻辑上看,悖论性的语句具有这样的特征：如果假定这个语句为真,那么会推出这个语句为假；反之,如果假定这个语句为假,又会推出这个语句为真.说它对也不是,不对也不是,真是左右为难.
语义学悖论举例
悖论古已有之.一般认为,最早的悖论是古希腊的“说谎者悖论”.《新约全书·提多书》是这样记述的：
克里特人中的一个本地先知说：“克里特人总是撒谎,乃是恶兽,又馋又懒.”这个见证是真的.
这个克里特岛的“先知”是伊壁孟尼德（Epimenides）.后来欧布里德（Eubulides）将他的话改进为：
我正在说谎.
这句话是真的,还是假的? 如果是句真话,由这句话的内容可知：说话者正在撒谎,既然是撒谎,那么说的是假话；反之,如果这句话是假的,说假话就是说谎,这句话的内容正是“我正在说谎”,因此这句话又是真的.
后来又发现了好几种“说谎者悖论”的变种,例如所谓“说谎者循环”：
A说：“下面是句谎话.”
B说：“上面是句真话.”
“说谎者悖论”和“说谎者循环”是与自然语言的表达方式密切相关的悖论,涉及真假、定义、名称、意义等语义方面的概念,这类悖论被称为“语义学悖论”.语义学悖论的实例很多,“格列林（K.Grelling）-纳尔逊（L.Nelson）悖论”就饶有趣味,它与形容词的应用有关：
将形容词分为两类,一类称为“自谓的”,即可对于它们自身成立、对自己为真的.例如,形容词“Polysyllabic（多音节的）”本身是多音节的,“English（英文的）”本身是英文的,它们都是自谓的.另一类称为“它谓的”,即对于它们自身不成立、对自己不真的.例如,形容词“Monosyllabic（单音节的）”是它谓的,因为这个词不是一个单音节词；“英文的”也是它谓的,因为这个词是中文的而不是英文的.问题来了：形容词“它谓的”是不是它谓的?
得到的结果是：如果“它谓的”是它谓的,那么会推出“它谓的”不是它谓的,反之亦然.导致了自相矛盾.
集合论悖论与公理化
另一类悖论涉及数学中的集合论,被称为“数学悖论”或“集合论悖论”.集合论是19世纪70-80年代由德国数学家康托尔创立,它建立在一种无限观——“实无限”的基础上.所谓“实无限”,即把“无限”作为一个已经完成了的观念实体来看待.例如,在集合论中用N={n：n是自然数}表示全体自然数的集合就是如此.需要指出的是,在此之前的几千年数学发展史中,占主导地位的是另一种无限观,即古希腊哲学家亚里士多德所主张的“潜无限”观念.所谓“潜无限”,是把“无限”作为一个不断发展着的、又永远无法完成的过程来看待.例如,把自然数看成一个不断延伸的无穷无尽的序列1,2,3,…,n,…就是如此.
集合论是数学观念和数学方法上的一次革命性变革,由于它在解释旧的数学理论和发展新的数学理论方面都极为方便,因而逐渐为许多数学家所接受.然而,在康托尔创立集合论不久,他自己就发现了问题,这就是1899年的“康托尔悖论”,亦称“最大基数悖论”.与此同时,还发现了其他集合论悖论,最著名的是1901年的“罗素悖论”：
把集合分成两类,凡是不以自身作为元素的集合称为正常集,（例如,自然数集N本身不是一个自然数,因此N是正常集.）凡是以自身作为元素的集合称为异常集.（例如,所有的非生物的集合F并非生物,因此F是异常集.）每个集合或者为正常集或者为异常集.设V为全体正常集所组成的集合,即V={x：x?埸x},那么V是不是正常集?
如果V是正常集,由正常集的定义知V?埸V,又因V是全体正常集的集合,所以正常集V∈V,但这说明V不是正常集,是异常集；反之,如果V不是正常集,是异常集,那么由异常集的定义知V∈V,这说明V是全体正常集组成的集合V的元素,因而V又应该是正常集.
罗素悖论揭示了一个严酷的事实：集合论是隐含着逻辑矛盾的,如果把数学建立在集合论的基础之上,将会使数学大厦从根基上产生深深的裂痕,这种裂痕甚至有可能使整座大厦倾覆.一石激起千层浪,一场关于数学基础问题的论战爆发了.
在这场论战中,最为激进的是以荷兰数学家布劳威尔为代表的直觉主义学派,他们对集合论采取了全盘否定的态度,并认为“实无限”的观念是集合论悖论产生的根源.与此相反,另一些数学家走上了改良的道路,他们试图亡羊补牢,对集合论加以适当的修正,以避免悖论.这方面的代表性成果是公理集合论,它已成为现代数学的一个重要分支.公理集合论采用公理化的方法来刻画集合和集合的运算,并对康托尔集合论中的“概括原则”作了修正.概括原则可表述为：满足性质P的所有对象可以组成一个集合S,即S={x：P（x）},其中的P（x）意为“x具有性质P”.这就认定了任何性质可以决定一个集合,于是前述的F 和V名正言顺地成了集合,悖论也应运而生.
在公理集合论的ZF系统中,用如下的“分离原则”取代了概括原则：若C是一个集合,则C中满足性质P的那些元素构成一个集合S={x：x∈C且 P（x）},即在C是集合的前提下,任何性质可以决定它的一个子集.公理化的结果是：只有正常集才能成为集合,异常集则不能,F和V都不是集合,罗素悖论和其他的集合论悖论得以避免.
就公理集合论能避免已有的集合论悖论,并在此基础上可以进一步发展数学而言,它是成功的.遗憾的是,人们并不能证明公理集合论系统的相容性,即不能证明系统中一定不会推出逻辑矛盾.此外,现代数学中的某些结果需要使用“选择公理”,但这又将导致某些违背人们直觉的怪论（例如“分球怪论”）.因此,公理集合论的处理方式,尤其是选择公理的使用,仍有进一步讨论的必要.
对悖论的一些深入探讨
罗素悖论的发现,也促进了对于悖论（包括语义学悖论）成因的深入思考.1905—1906年间,庞加莱在《数学与逻辑》一文中提出了悖论的根源在于“非直谓定义”的论断.所谓非直谓定义是指：借助于一个总体来定义一个概念（或对象）,而这个概念（或对象）本身又属于这个总体.这种定义是循环的（罗素称为“恶性循环”）,或者说是“自我涉及”的.例如,异常集“所有的非生物的集合F ”就是如此.因为,F是借助于“所有的非生物”这一总体来定义的,而F本身又是这一总体中的一员.考察语义学悖论,也会发现类似的“循环”或“自我涉及”的踪迹.例如,“说谎者循环”就是A,B两个人的话彼此循环,而格列林-纳尔逊悖论中的“自谓的”和“它谓的”定义,则涉及了形容词对于自身的真假.
1931年,塔尔斯基（A.Tarski）在《形式化语言中的真概念》一文中,提出了“语言层次”的理论.虽然这一理论主要是针对形式语言的,但对于日常语言中的语义悖论研究也有重要意义.塔尔斯基认为,日常语言在语义上是封闭的：既包含了语言表达式,又包含了陈述这些语言表达式语义性质（例如“真”、“假”）的语句.这是语义悖论产生的根源.要建立实质上适当、形式上正确的关于“真句子”的定义,就必须对语言进行分层处理：被谈论的语句属于某一层次的语言（称为“对象语言”）,而陈述该语句语义性质的语句则属于高一层次的语言（称为“元语言”）.“说谎者悖论”就是因为断言了自身的真假,混淆了语言的层次而造成的.
1975年,当代著名逻辑学家克里普克（S.A.Kripke）在《真理论纲要》一文中提出了解决悖论的新方案.其中的一个核心概念是“有根性”：要判断一个含有真值谓词（“真”或“假”）的语句,必须寻找这个语句的“根”——相应的不含真值谓词的语句.例如,要判断“‘净水是无色透明的’是真的”这句话的真假,就要看“净水是无色透明的”这句话对不对,后一句话不包含真值谓词,并且它的对错是可以判断的,因此,前一句话是有根的.只有有根的语句才可以判断其真假,无根的语句则不行.“说谎者悖论”和“说谎者循环”都是无根的,这是悖论的基本特征.
新近的悖论研究受到了“情景语义学”的影响,语言逻辑学家注意到：许多语义悖论实际上不仅仅涉及语义,也与说话时的语境（包括语言使用者）等语用因素密切相关.以“说谎者悖论”为例,当某人说“我正在说谎”时,这意味着他在某种语境中表达这句话为真的断言.但是,“‘我正在说谎’是假的”这一语句,却不能在同样的语境中陈述,陈述它的是另一种语境.因此,悖论的根源不在于“自我涉及”,而是因为不同的语境.只要分清每一句话的语境,许多所谓的“悖论”就不再是真正的悖论了.