数学对数函数f(x)=lg(x+根号(x2+1))证明在R上递增用定义证明 就是设X1小于X2 然后作差 我不会算
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/24 00:32:09
数学对数函数
f(x)=lg(x+根号(x2+1))
证明在R上递增
用定义证明 就是设X1小于X2 然后作差 我不会算
f(x)=lg(x+根号(x2+1))
证明在R上递增
用定义证明 就是设X1小于X2 然后作差 我不会算
x+√(x2+1)对于任何x都大于0,所以定义域为R.
f(x)=lg[x+√(x^2+1)]
导函数f'(x)=1/ln10*[x+√(x^2+1)]
*[1+2x/2√(x^2+1)
=1/ln10*[x+√(x^2+1)]*[1+x/√(x^2+1)]
对于任何x,
1/ln10*[x+√(x^2+1)]>0,
x/√(x^2+1)>-1,即1+x/√(x^2+1)>0
所以f'(x)>0
即在R上递增
常规方法:
设g(x)=x+√(x^2+1),先证明g(x)的单调性.
在R上取任意x1>x2
g(x1)-g(x2)
=[x1+√(x1^2+1)]-[x2+√(x2^2+1)]
=(x1-x2)+[√(x1^2+1)-√(x2^2+1)]
=(x1-x2)+[(x1^2+1)-(x2^2+1)]/[√(x1^2+1)+√(x2^2+1)]
=(x1-x2)+(x1-x2)(x1+x2)/[√(x1^2+1)+√(x2^2+1)]
=(x1-x2){[√(x1^2+1)+√(x2^2+1)]+(x1+x2)}/[√(x1^2+1)+√(x2^2+1)]
=(x1-x2){[√(x1^2+1)+x1]+[√(x2^2+1)+x2]}/[√(x1^2+1)+√(x2^2+1)]
因为√(x1^2+1)+x1>0,√(x2^2+1)+x2>0(不管x是正是负,明显啊,就不说了)
所以{[√(x1^2+1)+x1]+[√(x2^2+1)+x2]}/[√(x1^2+1)+√(x2^2+1)] >0
又x1-x2>0,
所以g(x1)-g(x2)>0
所以g(x)在定义域R内是增函数
所以当x1>x2时,g(x1)>g(x2),
即x1+√(x1^2+1)>x2+√(x2^2+1)>0(至于大于0容易知道,对数嘛),
即[x1+√(x1^2+1)]/[x2+√(x2^2+1)]>1
对于f(x)=lg[x+√(x^2+1)]
f(x1)-f(x2)
=lg[x1+√(x1^2+1)]-lg[x2+√(x2^2+1)]
=lg[x1+√(x1^2+1)]/lg[x1+√(x1^2+1)]
>lg1=0
所以在R上f(x)是增函数.
f(x)=lg[x+√(x^2+1)]
导函数f'(x)=1/ln10*[x+√(x^2+1)]
*[1+2x/2√(x^2+1)
=1/ln10*[x+√(x^2+1)]*[1+x/√(x^2+1)]
对于任何x,
1/ln10*[x+√(x^2+1)]>0,
x/√(x^2+1)>-1,即1+x/√(x^2+1)>0
所以f'(x)>0
即在R上递增
常规方法:
设g(x)=x+√(x^2+1),先证明g(x)的单调性.
在R上取任意x1>x2
g(x1)-g(x2)
=[x1+√(x1^2+1)]-[x2+√(x2^2+1)]
=(x1-x2)+[√(x1^2+1)-√(x2^2+1)]
=(x1-x2)+[(x1^2+1)-(x2^2+1)]/[√(x1^2+1)+√(x2^2+1)]
=(x1-x2)+(x1-x2)(x1+x2)/[√(x1^2+1)+√(x2^2+1)]
=(x1-x2){[√(x1^2+1)+√(x2^2+1)]+(x1+x2)}/[√(x1^2+1)+√(x2^2+1)]
=(x1-x2){[√(x1^2+1)+x1]+[√(x2^2+1)+x2]}/[√(x1^2+1)+√(x2^2+1)]
因为√(x1^2+1)+x1>0,√(x2^2+1)+x2>0(不管x是正是负,明显啊,就不说了)
所以{[√(x1^2+1)+x1]+[√(x2^2+1)+x2]}/[√(x1^2+1)+√(x2^2+1)] >0
又x1-x2>0,
所以g(x1)-g(x2)>0
所以g(x)在定义域R内是增函数
所以当x1>x2时,g(x1)>g(x2),
即x1+√(x1^2+1)>x2+√(x2^2+1)>0(至于大于0容易知道,对数嘛),
即[x1+√(x1^2+1)]/[x2+√(x2^2+1)]>1
对于f(x)=lg[x+√(x^2+1)]
f(x1)-f(x2)
=lg[x1+√(x1^2+1)]-lg[x2+√(x2^2+1)]
=lg[x1+√(x1^2+1)]/lg[x1+√(x1^2+1)]
>lg1=0
所以在R上f(x)是增函数.
f(x)=2x+1在R上为增函数,用单调性定义证明.就是什么f(x1)-f(x2)
证明函数f(x)=lg(x+根号x2+1) 在R上为单调增函数
证明函数f(x)根号x2+1 然后再减x,在其定义域内是减函数
设函数f(x)是定义在R上的增函数,且f(x)0,对于任何X1,X2属于R,都有f(x1+x2)=f(x1)*(x2)
证明函数f(x)=x+1/x在区间(0,1]上是减函数用f(x2)-f(x1)
证明一道数学题证明对任意实数0<x1<x2<1,f‘(x)-[f(x1)-f(x2)]/(x1-x2)=0在(x1,x2
【数学函数单调性】用定义证明f(x)=In(1+e^x)+x在R上单调递增
根据单调函数的定义证明函数f(x)=x³+1在r上单调递增
若定义在R上的函数f(x)对任意的x1,x2∈R,都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-1成立,且当x>0时,f
定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=-f(x+4),且当x>2时,f(x)单调递增,若x1+x2<4,(x1-2)(
定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=-f(x+4),当x>2时,f(x)单调递增,如果x1+x2<4,且(x1-2)
ax lnx|函数f(x)=(a+1)lnx+ax*x+1,设a小于等于-2,证明任意x1,x2大于0,|f(