证明:对任意正整数n,8n+7不可能是三个整数的平方和
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/04 07:23:50
证明:对任意正整数n,8n+7不可能是三个整数的平方和
证明:假设存在任意正整数n,使8n+7是三个正整数的平方和
即设三个整数分别为x,y,z
则有:x²+y²+z²=8n+7
x²+y²+z²=2﹙4n+3﹚+1
①x,y,z中,必有一个奇数两个偶数
令x=2a+1 y=2b z=2c
4a²+4a+1+4b²+4c²=2﹙4n+3﹚+1
4﹙a²+a+b²+c²﹚=2﹙4n+3﹚
2﹙a²+a+b²+c²﹚=4n+3
即:一个奇数等于另一个偶数,矛盾
②x,y,z都是奇数
令x=2a+1 y=2b+1 z=2c+1
4﹙a²+b²+c²+a+b+c+½﹚+1=2﹙4n+3﹚+1
4﹙a²+b²+c²+a+b+c+½﹚=2﹙4n+3﹚
2﹙a²+b²+c²+a+b+c+½﹚=4n+3
∴2﹙a²+b²+c²+a+b+c﹚=4n+2
a²+b²+c²+a+b+c=2n+1
a,b,c都是奇数
偶数个奇数的和是偶数
2n+1是奇数
即:一个奇数等于另一个偶数,矛盾
综上所述:8n+7不可能是三个整数的平方和
即设三个整数分别为x,y,z
则有:x²+y²+z²=8n+7
x²+y²+z²=2﹙4n+3﹚+1
①x,y,z中,必有一个奇数两个偶数
令x=2a+1 y=2b z=2c
4a²+4a+1+4b²+4c²=2﹙4n+3﹚+1
4﹙a²+a+b²+c²﹚=2﹙4n+3﹚
2﹙a²+a+b²+c²﹚=4n+3
即:一个奇数等于另一个偶数,矛盾
②x,y,z都是奇数
令x=2a+1 y=2b+1 z=2c+1
4﹙a²+b²+c²+a+b+c+½﹚+1=2﹙4n+3﹚+1
4﹙a²+b²+c²+a+b+c+½﹚=2﹙4n+3﹚
2﹙a²+b²+c²+a+b+c+½﹚=4n+3
∴2﹙a²+b²+c²+a+b+c﹚=4n+2
a²+b²+c²+a+b+c=2n+1
a,b,c都是奇数
偶数个奇数的和是偶数
2n+1是奇数
即:一个奇数等于另一个偶数,矛盾
综上所述:8n+7不可能是三个整数的平方和
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