大师作文网帮忙解两道很难的数学题(圆锥曲线).
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/19 19:03:50
帮忙解两道很难的数学题(圆锥曲线).
1.已知椭圆C:X^2/9 + Y^2/8 =1 的左右两个焦点分别为F1,F2.过F1作一条直线交椭圆于A,B两点.求△ABF2 面积的最大值?
2.求函数S=4K(4-K^2) 在区间[0,2]的最大值
1.已知椭圆C:X^2/9 + Y^2/8 =1 的左右两个焦点分别为F1,F2.过F1作一条直线交椭圆于A,B两点.求△ABF2 面积的最大值?
2.求函数S=4K(4-K^2) 在区间[0,2]的最大值
1.这题其实以前是以椭圆标准方程的形式出现的,这里降低了难度,采用数据
设过坐焦点的直线为y=k(x+1),代入椭圆方程(9k^2+8)x^2+18k^2x+9k^2-72=0
注意到这里S△ABF2=2S△AB0=|y1-y2|*c=|k|*c*|x2-x1|
其中|x2-x1|=sqrt(△)/|a|=48sqrt(1+k^2)/9k^2+8
S△ABF2=48|k|sqrt(1+k^2)/9k^2+8,关键就是求|k|sqrt(1+k^2)/9k^2+8的最值
我教一个配项的技巧：(x*|k|)[y*sqrt(1+k^2)]≤[(x^2+y^2)k^2+y^2]/2
只要(x^2+y^2)/2=9 y^2/2=8也就是x=sqrt(2),y=4就能求出最值
4sqrt(2)|k|sqrt(1+k^2)≤9k^2+8
48|k|sqrt(1+k^2)/9k^2+8=6sqrt(2)*4sqrt(2)|k|sqrt(1+k^2)/9k^2+8≤6sqrt(2)似乎最大值就让我们这么求出来了,但是可惜的是等号取到的条件是sqrt(2)k=4sqrt(2)sqrt(1+k^2),k无解,所以这个最大值是取不到的,要取到k必须无限靠近,所以我们在这里可以猜测k=+∞,相当与斜率不存在时取到最大,但怎么来说明呢,只能用单调性.
令k=tanθ,S=48|k|sqrt(1+k^2)/9k^2+8=48tanθ*(1/cosθ)/9/cos^2θ-1=48sinθ/9-cos^2θ=48sinθ/8+sin^2θ=48/(8/sinθ+sinθ)
由单调性很容易得到sinθ=1时,8/sinθ+sinθ最小,整体最大,而这里我们模糊了一个概念,那就是tanθ存在的条件就是sinθ不等于1,然而如果一定要这么分析,那么可以说max{48/(8/sinθ+sinθ)}
设过坐焦点的直线为y=k(x+1),代入椭圆方程(9k^2+8)x^2+18k^2x+9k^2-72=0
注意到这里S△ABF2=2S△AB0=|y1-y2|*c=|k|*c*|x2-x1|
其中|x2-x1|=sqrt(△)/|a|=48sqrt(1+k^2)/9k^2+8
S△ABF2=48|k|sqrt(1+k^2)/9k^2+8,关键就是求|k|sqrt(1+k^2)/9k^2+8的最值
我教一个配项的技巧：(x*|k|)[y*sqrt(1+k^2)]≤[(x^2+y^2)k^2+y^2]/2
只要(x^2+y^2)/2=9 y^2/2=8也就是x=sqrt(2),y=4就能求出最值
4sqrt(2)|k|sqrt(1+k^2)≤9k^2+8
48|k|sqrt(1+k^2)/9k^2+8=6sqrt(2)*4sqrt(2)|k|sqrt(1+k^2)/9k^2+8≤6sqrt(2)似乎最大值就让我们这么求出来了,但是可惜的是等号取到的条件是sqrt(2)k=4sqrt(2)sqrt(1+k^2),k无解,所以这个最大值是取不到的,要取到k必须无限靠近,所以我们在这里可以猜测k=+∞,相当与斜率不存在时取到最大,但怎么来说明呢,只能用单调性.
令k=tanθ,S=48|k|sqrt(1+k^2)/9k^2+8=48tanθ*(1/cosθ)/9/cos^2θ-1=48sinθ/9-cos^2θ=48sinθ/8+sin^2θ=48/(8/sinθ+sinθ)
由单调性很容易得到sinθ=1时,8/sinθ+sinθ最小,整体最大,而这里我们模糊了一个概念,那就是tanθ存在的条件就是sinθ不等于1,然而如果一定要这么分析,那么可以说max{48/(8/sinθ+sinθ)}