用尺规作一个正方形等于圆的面积

用尺规作一个正方形等于圆的面积

化圆为方是古希腊尺规作图问题之一,即：求一正方形,其面积等于一给定圆的面积.由π为超越数可知,该问题仅用尺规是无法完成的.但若放宽限制,这一问题可以通过特殊的曲线来完成.如西皮阿斯的割圆曲线,阿基米得的螺线等.
古希腊三大几何问题之一.
方圆的问题与提洛斯问题是同时代的,由希腊人开始研究.有名的阿基米得把这问题化成下述的形式：已知一圆的半径是r,圆周就是2πr,面积是πr2.由此若能作一个直角三角形,其夹直角的两边长分别为已知圆的周长2πr及半径r,则这三角形的面积就是
(1/2)(2πr)(r)=πr平方;
与已知圆的面积相等.由这个直角三角形不难作出同面积的正方形来.但是如何作这直角三角形的边.即如何作一线段使其长等于一已知圆的周长,这问题阿基米得可就解不出了.
二千年间,尽管对化圆为方问题上的研究 没有成功,但却发现了一些特殊曲线.希腊安提丰（公元前430）为解决此问题而提出的 「穷竭法」,是近代极限论的雏形.大意是指先作圆内接正方形（或正6边形）,然后每次 将边数加倍,得内接8、16、32、…边形,他相信「最后」的正多边形必与圆周重合, 这样就可以化圆为方了.虽然结论是错误的,但却提供了求圆面积的近似方法,成为阿基米 德计算圆周率方法的先导,与中国刘徽的割圆术不谋而合,对穷竭法等科学方法的建立产生 直接影响.
其实,若不受标尺的限制,化圆为方问题并非难事,欧洲文艺复兴时代的大师芬兰数学家达芬奇（1452－1519）用已知圆为底,圆半径的1/2为高的圆柱,在平面上滚动一周,所得的矩形,其面积恰为圆的面积,如图所示,
所以所得矩形的面积＝(r/2)×2πr＝πr平方; ,然后再将矩形化为等积的正方形即可.
现已证明,在尺规作图的条件下,此题无解.
•化圆为方的来历和历史
公元前5世纪,古希腊哲学家安那萨哥拉斯因为发现太阳是个大火球,而不是阿波罗神,犯有“亵渎神灵罪”而被投入监狱.在法庭上,安那萨哥拉斯申诉道：“哪有什么太阳神阿波罗啊!那个光耀夺目的大球,只不过是一块火热的石头,大概有伯罗奔尼撒半岛那么大；再说,那个夜晚发出清光,晶莹透亮象一面大镜子的月亮,它本身并不发光,全是靠了太阳的照射,它才有了光亮.”结果他被判处死刑.
在等待执行的日子了,夜晚,安那萨哥拉斯睡不着.圆圆的月亮透过正方形的铁窗照进牢房,他对方铁窗和圆月亮产生了兴趣.他不断变换观察的位置,一会儿看见圆比正方形大,一会儿看见正方形比圆大.最后他说：“好了,就算两个图形面积一样大好了.”
安那萨哥拉斯把“求作一个正方形,使它的面积等于已知的圆面积”作为一个尺规作图问题来研究.起初他认为这个问题很容易解决,谁料想他把所有的时间都用上,也一无所获.
经过好朋友、政治家伯里克利的多方营救,安那萨哥拉斯获释出狱.他把自己在监狱中想到的问题公布出来,许多数学家对这个问题很感兴趣,都想解决,可是一个也没有成功.这就是著名的“化圆为方”问题.