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已知{an}是等比数列 首项a1=1,公比为q且bn=a[n+1] -an判断数列{bn}是否为等比数列

来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/11/11 15:07:38
已知{an}是等比数列 首项a1=1,公比为q且bn=a[n+1] -an判断数列{bn}是否为等比数列
已知{an}是等比数列 首项a1=1,公比为q且bn=a[n+1] -an
(1)判断数列{bn}是否为等比数列,并说明理由.
(2)求数列{bn}的通项公式
已知{an}是等比数列 首项a1=1,公比为q且bn=a[n+1] -an判断数列{bn}是否为等比数列
1.
数列{bn}不一定是等比数列:
当q=1时,{bn}是各项均为0的常数数列,也是首项为0,公差为0的等差数列,但不是等比数列.
当q≠1时,{bn}是以q-1为首项,q为公比的等比数列.
证明如下:
bn=a(n+1)-an=a1q^n -a1q^(n-1)=q^(n-1) (q-1)
q=1时,bn=0,数列{bn}是各项均为0的常数数列.
q≠1时,
b1=q-1
b(n+1)=q^n (q-1)
b(n+1)/bn=[q^n (q-1)]/[q^(n-1) (q-1)]=q,为定值.数列{bn}是q-1为首项,q为公比的等比数列.
2.
由1得
q=1时,bn=0
q≠1时,bn=(q-1)q^(n-1)