设函数f(x),g(x)在[a,b]上内二阶可导且存在相等的最大值,又f(a)=g(a),f(b)=g(b),证明:
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/20 12:12:33
设函数f(x),g(x)在[a,b]上内二阶可导且存在相等的最大值,又f(a)=g(a),f(b)=g(b),证明:
(Ⅰ)存在η∈(a,b),使得f(η)=g(η);
(Ⅱ)存在ξ∈(a,b),使得f″(ξ)=g″(ξ).
(Ⅰ)存在η∈(a,b),使得f(η)=g(η);
(Ⅱ)存在ξ∈(a,b),使得f″(ξ)=g″(ξ).
证明:(I)由f(x),g(x)在(a,b)内存在相等的最大值,
①若在某点c∈(a,b)同时取得最大值,则f(c)=g(c),此时的c就是所求点,即存在η∈(a,b),使得f(η)=g(η);
②若两个函数取得最大值的点不同,设f(c)=maxf(x),g(d)=maxg(x),f(c)=g(d).
则有f(c)-g(c)>0,g(d)-f(d)<0,
因此函数F(x)=f(x)-g(x)在[c,d]或[d,c]上满足零点定理的条件,
故在(c,d)或(d,c)内肯定存在η,使得f(η)=g(η)
综合①②,存在η∈(a,b),使得f(η)=g(η)
(II)由(1)和洛尔定理在区间(a,η),(η,b)内分别存在一点{ξ}_{1}和{ξ}_{2},使得
f(ξ1)=0,f′(ξ2)=0
在区间(ξ1,ξ2)内对函数F(x)=f(x)-g(x)用洛尔定理,即
∃ξ∈(ξ1,ξ2)⊂(a,b),F''(ξ)=f''(ξ)-g''(ξ)=0
即∃ξ∈(a,b),使得f″(ξ)=g″(ξ).
①若在某点c∈(a,b)同时取得最大值,则f(c)=g(c),此时的c就是所求点,即存在η∈(a,b),使得f(η)=g(η);
②若两个函数取得最大值的点不同,设f(c)=maxf(x),g(d)=maxg(x),f(c)=g(d).
则有f(c)-g(c)>0,g(d)-f(d)<0,
因此函数F(x)=f(x)-g(x)在[c,d]或[d,c]上满足零点定理的条件,
故在(c,d)或(d,c)内肯定存在η,使得f(η)=g(η)
综合①②,存在η∈(a,b),使得f(η)=g(η)
(II)由(1)和洛尔定理在区间(a,η),(η,b)内分别存在一点{ξ}_{1}和{ξ}_{2},使得
f(ξ1)=0,f′(ξ2)=0
在区间(ξ1,ξ2)内对函数F(x)=f(x)-g(x)用洛尔定理,即
∃ξ∈(ξ1,ξ2)⊂(a,b),F''(ξ)=f''(ξ)-g''(ξ)=0
即∃ξ∈(a,b),使得f″(ξ)=g″(ξ).
设f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0,证明至少存在一点ξ∈(a,b).
设a,b属于R,且a>0,函数f(x)=x^2+ax+2b,g(x)=ax+b,在【-1,1】上g(x)的最大值是2 ,
设a,b属于R,且a>0,函数f(x)=x²+ax+2b,g(x)=ax+b,在[-1,1]上g(x)的最大值
设f(x)和g(x)在闭区间【a,b】上连续,在开区间(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0.证明:至少存在一点c属
不动点的证明 设f(x)在上=[a,b]连续,且f(D)=[a,b],证明存在使得g=f(g)
若函数g(X).f(X)都是奇函数,F(X)=a*g(x)+b*f(X)+2在(0,+∞ )上有最大值5,
设函数f(x)在[a,b]上两阶可导,且f'(a)=f'(b)=0,证明:存在ξ∈(a,b)使得
设f(x),g(x)都是定义在R上的奇函数,且F(x)=3f(x)+5g(x)+2,若F(a)=b则F(-a)等于(
已知函数f(x)的定义域为【a,b】且a+b》0,求g(x)=f(x)-f(-x)的定义域
函数增减性问题设函数f(x)·g(x)在区间(a,b)内单调递增,证明函数h(x)=max{f(x),g(x)}与H(x
设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a,b]上的两个函数,若函数y=f(x)-g(x)在x∈[a,b]上有两个不同的零
设f(x),g(x),在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,且f(x)g(x)的导数相等,证明是否存在常数C,使得f(