n是自然数,试证明:3|n(n+1)(n+2) 三个连续自然数的立方和是9的倍数
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/20 21:25:51
n是自然数,试证明:3|n(n+1)(n+2) 三个连续自然数的立方和是9的倍数
|是整除的意思哦,答鸟的加FEN
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第一个题
因为n是自然数,显然有连续三个自然数中必有一个可以被三整除,那么剩下两个数之积也必然是整数,那么这三个数之积一定可以被三整除.
思路就是这样,如果非要正式一点的话,那就数学归纳法证明吧.
给你第二个题的解法,百度的,我看了对着呢
设它们是x-1,x,x+1
立方和为
(x-1)^3+x^3+(x+1)^3
=(x^3-3x^2+3x-1)+x^3+(x^3+3x^2+3x+1)
=3x^3+6x
=3x(x^2+2)
(x^2表示x的平方,x^3表示x的立方)
这首先一定是3的倍数,只要看x,x有三种情况:
①x就是3的倍数,那么3x就是9的倍数,那么3x(x^2+2)(立方和)就是9的倍数
②x是3的倍数多1,设x=3k+1(k为整数)
3x(x^2+2)
=3(3k+1)[(3k+1)^2+2]
=3(3k+1)(9k^2+6k+1+2)
=3(3k+1)3(3k^2+2k+1)
=9(3k+1)(3k^2+2k+1)
是9的倍数
③x是3的倍数多2,设x=3k+2(k为整数)
3x(x^2+2)
=3(3k+2)[(3k+2)^2+2]
=3(3k+2)(9k^2+12k+4+2)
=3(3k+1)3(3k^2+4k+2)
=9(3k+1)(3k^2+4k+2)
是9的倍数
因为n是自然数,显然有连续三个自然数中必有一个可以被三整除,那么剩下两个数之积也必然是整数,那么这三个数之积一定可以被三整除.
思路就是这样,如果非要正式一点的话,那就数学归纳法证明吧.
给你第二个题的解法,百度的,我看了对着呢
设它们是x-1,x,x+1
立方和为
(x-1)^3+x^3+(x+1)^3
=(x^3-3x^2+3x-1)+x^3+(x^3+3x^2+3x+1)
=3x^3+6x
=3x(x^2+2)
(x^2表示x的平方,x^3表示x的立方)
这首先一定是3的倍数,只要看x,x有三种情况:
①x就是3的倍数,那么3x就是9的倍数,那么3x(x^2+2)(立方和)就是9的倍数
②x是3的倍数多1,设x=3k+1(k为整数)
3x(x^2+2)
=3(3k+1)[(3k+1)^2+2]
=3(3k+1)(9k^2+6k+1+2)
=3(3k+1)3(3k^2+2k+1)
=9(3k+1)(3k^2+2k+1)
是9的倍数
③x是3的倍数多2,设x=3k+2(k为整数)
3x(x^2+2)
=3(3k+2)[(3k+2)^2+2]
=3(3k+2)(9k^2+12k+4+2)
=3(3k+1)3(3k^2+4k+2)
=9(3k+1)(3k^2+4k+2)
是9的倍数
试证明:当n为自然数时,n(2n+1)-2n(n-1)一定是3的倍数
若n为自然数,试说明3n(2n-1)-2n(3n+2)是7的倍数
若n为自然数,则n(2n+1)-2n(n-3)的值是7的倍数吗?
三个连续自然数的和是n,这三个自然数中最小的是
三个连续自然数的和是24,中间一个是n.n是多少?
对于任意的自然数n,证明3^(n+2)-2^(n+2)+3^n-2^n一定是10的倍数
设n为自然数,试说明n(2n+1)-2n(n-1)的值一定是3的倍数.
对任意自然数n.11^(n+2)+12^(2n+1)是133的倍数
若N为自然数,试说明整式2n(n^2+2n+1)-2n^2(n+1)的值一定是4的倍数
用抽屉原理证明:任意n+1个自然数中,总有两个自然数的差是n的倍数.
三个连续自然数中最中间一个是n+2,则它们的和是_______________.
设N是一个自然数,他不是2和3的倍数,求证:N^+5一定是6的倍数..